Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn

3^x+2^y=1+2^z.(1)

Ta sẽ xét theo từng trường hợp.

Bước 1. So sánh tính chẵn lẻ
Vì x≥1 nên 3^x là số lẻ.

Vì y≥1 nên 2^y là số chẵn.

Do đó vế trái là lẻ + chẵn = lẻ.

Vế phải:

1+2^z=lẻ + chẵn = lẻ.

Hai vế đều lẻ, không mâu thuẫn.

Bước 2. Xét theo modulo 2
Chuyển vế:

3^x=1+2^z−2^y.

Nếu y>z thì

2^z−2^y<0,

không thuận lợi. Ta sẽ xét theo quan hệ giữa y và z.

Trường hợp 1. y=z
Khi đó

3^x+2^y=1+2^y

suy ra

3^x=1,

không thể vì x>0.

Vậy y≠z.

Trường hợp 2. y>z
Khi đó

3^x=1−(2^y−2^z)<1,

vô lý vì 3^x>0.

Vậy

y<z.
Bước 3. Đặt nhân tử chung
Từ y<z:

2^z−2^y=2^y(2^z−y−1).

Do đó

3^x−1=2^y(2^z−y−1).(2)

Vế phải chia hết cho 2^y.

Bước 4. Xét theo modulo 4
Nếu x≥1,

$3^{x} = \{\begin{cases} 3 (m o d 4), x l ẻ, \\ 1 (m o d 4), x c h ă n . \end{cases}$

Nếu y≥2 thì 2^y chia hết cho 4.

Từ (1):

3^x≡1(mod4).

Suy ra x phải chẵn.

Bước 5. Thử các giá trị nhỏ
x=2:
9+2^y=1+2^z

2^z−2^y=8=2³.

Hay

2^y(2^z−y−1)=8.

Thử y=1:

2(2^z−1−1)=8

2^z−1=5,

không được.

Thử y=2:

4(2^z−2−1)=8

2^z−2=3,

không được.

Các y lớn hơn đều không được.

x=4:
81+2^y=1+2^z

2^z−2^y=80=2⁴⋅5.

Không có nghiệm vì 2^z−y−1 không thể bằng 5 khi nhân tích.

Các x lớn hơn cũng không cho nghiệm.

Kết luận
Không tồn tại bộ số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn

3^x+2^y=1+2^z.

Phương trình không có nghiệm nguyên dương.

...Xem thêm

Answer 2

Ta cần tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn

3^x+2^y=1+2^z.(1)

Ta sẽ xét theo từng trường hợp.

Bước 1. So sánh tính chẵn lẻ
Vì x≥1 nên 3^x là số lẻ.

Vì y≥1 nên 2^y là số chẵn.

Do đó vế trái là lẻ + chẵn = lẻ.

Vế phải:

1+2^z=lẻ + chẵn = lẻ.

Hai vế đều lẻ, không mâu thuẫn.

Bước 2. Xét theo modulo 2
Chuyển vế:

3^x=1+2^z−2^y.

Nếu y>z thì

2^z−2^y<0,

không thuận lợi. Ta sẽ xét theo quan hệ giữa y và z.

Trường hợp 1. y=z
Khi đó

3^x+2^y=1+2^y

suy ra

3^x=1,

không thể vì x>0.

Vậy y≠z.

Trường hợp 2. y>z
Khi đó

3^x=1−(2^y−2^z)<1,

vô lý vì 3^x>0.

Vậy

y<z.
Bước 3. Đặt nhân tử chung
Từ y<z:

2^z−2^y=2^y(2^z−y−1).

Do đó

3^x−1=2^y(2^z−y−1).(2)

Vế phải chia hết cho 2^y.

Bước 4. Xét theo modulo 4
Nếu x≥1,

$3^{x} = \{\begin{cases} 3 (m o d 4), x l ẻ, \\ 1 (m o d 4), x c h ă n . \end{cases}$

Nếu y≥2 thì 2^y chia hết cho 4.

Từ (1):

3^x≡1(mod4).

Suy ra x phải chẵn.

Bước 5. Thử các giá trị nhỏ
x=2:
9+2^y=1+2^z

2^z−2^y=8=2³.

Hay

2^y(2^z−y−1)=8.

Thử y=1:

2(2^z−1−1)=8

2^z−1=5,

không được.

Thử y=2:

4(2^z−2−1)=8

2^z−2=3,

không được.

Các y lớn hơn đều không được.

x=4:
81+2^y=1+2^z

2^z−2^y=80=2⁴⋅5.

Không có nghiệm vì 2^z−y−1 không thể bằng 5 khi nhân tích.

Các x lớn hơn cũng không cho nghiệm.

Kết luận
Không tồn tại bộ số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn

3^x+2^y=1+2^z.

Phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Answer 3

Phương trình không có nghiệm nguyên dương.

2 câu trả lời 19

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9