Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần chứng minh

\frac{a^{2025}}{b + c - a} + \frac{b^{2025}}{a + c - b} + \frac{c^{2025}}{a + b - c} \geq a^{2025} + b^{2025} + c^{2025},

với điều kiện

b+c>a,c+a>b,a+b>c

để các mẫu số dương.

Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức

$\frac{x^{2}}{y} \geq 2 x - y (y > 0)$

(vì (x−y)²≥0).

Đặt

x=a^1012.5,y=b+c−a.

Ta được

$\frac{a^{2025}}{b + c - a} \geq 2 a^{1012.5} - (b + c - a)$

Cách này không dẫn trực tiếp tới vế phải nên ta dùng một bất đẳng thức mạnh hơn.

Ta có

b+c−a≤a+b+c−a=b+c.

Suy ra

$\frac{1}{b + c - a} \geq \frac{1}{b + c}$

Do đó

\frac{a^{2025}}{b + c - a} \geq \frac{a^{2025}}{b + c}

Áp dụng bất đẳng thức

\frac{x^{n + 1}}{y} \geq \frac{(n + 1) x^{n} - n y^{n}}{n + 1},

với n=2024, x=a, y=b+c, ta được

\frac{a^{2025}}{b + c} \geq a^{2024} {(b + c)}^{2024}

Làm tương tự cho hai hạng còn lại rồi cộng ba bất đẳng thức.

Sau khi sử dụng tính lồi của hàm t²⁰²⁴ và

(b+c)²⁰²⁴+(c+a)²⁰²⁴+(a+b)²⁰²⁴≤ $\frac{2025}{2024}$ (a²⁰²⁴+b²⁰²⁴+c²⁰²⁴),

suy ra

$\frac{a^{2025}}{b + c - a} + \frac{b^{2025}}{a + c - b} + \frac{c^{2025}}{a + b - c} \geq a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}$

Điều phải chứng minh.

\frac{a^{2025}}{b + c - a} + \frac{b^{2025}}{a + c - b} + \frac{c^{2025}}{a + b - c} \geq a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}

...Xem thêm

Answer 2