Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

a) Xét ∆BDH vuông tại D có đường trung tuyến DO ứng với cạnh huyền BH nên $D O = \frac{B H}{2} .$

Mà O là tâm đường tròn đường kính BH nên điểm D thuộc đường tròn (O).

Tương tự, ta chứng minh được $O^{'} E = \frac{1}{2} H C$ nên điểm E thuộc đường tròn (O’).

b) Do OO’ = OH + O’H nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại H.

c) Do AH vuông góc với OO’ tại H nên:

⦁ AH ⊥ HB tại H thuộc (O) nên AH là tiếp tuyến của đường tròn (O);

⦁ AH ⊥ HC tại H thuộc (O’) nên AH là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d) Xét tứ giác ADHE có $\hat{D A E} = \hat{A D H} = \hat{A E H} = 90 °$ nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Suy ra AH = DE.

e) Do ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH, DE bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Do đó $I A = I H = \frac{1}{2} A H = \frac{1}{2} D E = I D = I E .$

Xét ∆ODI và ∆OHI có: ID = IH; OD = OH; OI là cạnh chung.

Do ∆ODI = ∆OHI (c.c.c) nên $\hat{O D I} = \hat{O H I} = 90 °$ hay OD ⊥ DE.

Tương tự, ta chứng minh được O’E ⊥ DE.

Suy ra OD // O’E nên tứ giác DEO’O là hình thang có DE là đường cao.

Diện tích hình thang DEO’O là $S_{1} = \frac{D E (O D + O^{'} E)}{2} .$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{2} = \frac{A H \cdot B C}{2} .$

Mà DE = AH và BC = BH + CH = 2OD + 2O’E = 2(OD + O’E).

Suy ra $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{D E (O D + O^{'} E)}{2}}{\frac{A H \cdot B C}{2}} = \frac{D E (O D + O^{'} E)}{A H \cdot B C} = \frac{D E (O D + O^{'} E)}{D E \cdot 2 (O D + O^{'} E)} = \frac{1}{2} .$

Do đó $S_{1} = \frac{1}{2} S_{2} .$

Vậy diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

...Xem thêm

Answer 2