Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.

Suy ra OD // O’E nên $\hat{B O D} = \hat{A O' E}$ (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên $\hat{O B D} = \hat{O D B}$

Mà $\hat{O B D} + \hat{O D B} + \hat{B O D} = 180 °$ nên $\hat{O D B} = \hat{O B D} = \frac{180 ° - \hat{B O D}}{2}$ (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có $\hat{O' A E} = \hat{O' E A} = \frac{180 ° - \hat{A O' E}}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{O B D} = \hat{O' E A}$ (4)

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên $\hat{O' C E} = \hat{O' E C}$ (5)

Mà $\hat{O' E A} + \hat{O' E C} = \hat{A E C} = 90 °$

Từ (4), (5) và (6) suy ra $\hat{O B D} + \hat{O' C E} = 90 °$ hay $\hat{C B M} + \hat{B C M} = 90 °$

Ta lại có $\hat{C B M} + \hat{B M C} + \hat{B C M} = 180 °$ (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó $\hat{B M C} = 180 ° - (\hat{C B M} + \hat{B C M}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ hay $\hat{D M E} = 90 °$

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra $D O = \frac{1}{2} A B$ nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.

Xét tứ giác ADME có $\hat{D M E} = \hat{A D M} = \hat{A E M} = 90 °$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên $I A = I M = \frac{1}{2} A M = \frac{1}{2} D E = I D = I E$

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra $\hat{O A I} = \hat{O D I} = 90 °$ hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có $\hat{M E D} + \hat{A E D} = \hat{A E M} = 90 °$ và $\hat{O' E A} + \hat{A E D} = \hat{O' E D} = 90 °$ nên $\hat{O' E A} = \hat{M E D}$

Lại có $\hat{O B D} = \hat{O' E A}$ (chứng minh ở câu a) nên $\hat{O B D} = \hat{M E D}$ hay $\hat{M B C} = \hat{M E D}$

Xét ∆BCM và ∆EDM có: $\hat{B M C}$ là góc chung và $\hat{M B C} = \hat{M E D}$

Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên $\frac{M B}{M E} = \frac{M C}{M D}$

Suy ra MD . MB = ME . MC.

...Xem thêm

Answer 2