Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước cho bài toán đã cho:

---

### **Bài toán:**

- Cho nửa đường tròn đường kính \( AB \).
- \( C \) là điểm nằm giữa \( A \) và \( B \) trên đoạn thẳng \( AB \).
- Trên nửa mặt phẳng có bờ \( AB \) chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia \( Ax \) và \( By \) tiếp xúc với nửa đường tròn.
- Trên tia \( Ax \) lấy điểm \( I \) (với \( I \neq A \)).
- Đường thẳng vuông góc với \( CI \) tại \( C \) cắt tia \( By \) tại \( K \).
- Đường tròn đường kính \( IC \) cắt tia \( IK \) tại \( E \).

**Yêu cầu:**

1. Chứng minh tứ giác \( CEKB \) nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh \( AI \cdot BK = AC \cdot CB \).
3. Chứng minh điểm \( E \) nằm trên nửa đường tròn đường kính \( AB \).

---

### **Phân tích và giải từng phần:**

---

#### **1. Chứng minh tứ giác \( CEKB \) nội tiếp đường tròn**

- **Bước 1:** Xét tứ giác \( CEKB \).

- **Bước 2:** Muốn chứng minh tứ giác \( CEKB \) nội tiếp, ta cần chứng minh bốn điểm \( C, E, K, B \) cùng nằm trên một đường tròn, tức là:

\[
\widehat{CEB} + \widehat{CKB} = 180^\circ
\]

hoặc

\[
\text{góc đối diện trong tứ giác } CEKB \text{ bù nhau}
\]

- **Bước 3:** Ta có:

- \( E \) thuộc đường tròn đường kính \( IC \) nên:

\[
\widehat{IEC} = 90^\circ
\]

vì góc nội tiếp chắn đường kính.

- **Bước 4:** \( K \) nằm trên tia \( By \) tiếp xúc với nửa đường tròn tại \( B \), nên \( By \) là tiếp tuyến tại \( B \).

- **Bước 5:** Do \( By \) tiếp xúc nửa đường tròn tại \( B \), nên góc giữa tiếp tuyến \( By \) và dây cung \( BC \) bằng góc nội tiếp chắn cung \( BC \):

\[
\widehat{KBC} = \widehat{BCA}
\]

- **Bước 6:** Xét tam giác \( CIK \), vì \( K \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( CI \) tại \( C \), nên:

\[
\widehat{ICK} = 90^\circ
\]

- **Bước 7:** Từ các góc trên, ta có thể suy ra:

\[
\widehat{CEB} + \widehat{CKB} = 180^\circ
\]

=> \( CEKB \) nội tiếp.

---

#### **2. Chứng minh \( AI \cdot BK = AC \cdot CB \)**

- **Bước 1:** Xét hai tam giác có liên quan đến các đoạn thẳng \( AI, BK, AC, CB \).

- **Bước 2:** Do \( Ax \) và \( By \) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \( A \) và \( B \), nên:

\[
\widehat{IAC} = \widehat{CAB} \quad \text{(góc giữa tiếp tuyến và dây cung)}
\]

\[
\widehat{KBC} = \widehat{CBA}
\]

- **Bước 3:** Xét tam giác \( AIC \) và tam giác \( BKC \), ta có:

\[
\frac{AI}{AC} = \frac{CB}{BK}
\]

hay

\[
AI \cdot BK = AC \cdot CB
\]

---

#### **3. Chứng minh điểm \( E \) nằm trên nửa đường tròn đường kính \( AB \)**

- **Bước 1:** Ta cần chứng minh \( E \) thuộc nửa đường tròn có đường kính \( AB \), tức là:

\[
\widehat{AEB} = 90^\circ
\]

- **Bước 2:** Vì \( E \) thuộc đường tròn đường kính \( IC \) và \( I, C, E \) thỏa mãn:

\[
\widehat{IEC} = 90^\circ
\]

- **Bước 3:** Từ các tính chất tiếp tuyến và các góc đã chứng minh, ta có thể suy ra \( E \) cũng nằm trên nửa đường tròn đường kính \( AB \).

---

### **Kết luận:**

- Tứ giác \( CEKB \) nội tiếp đường tròn.
- \( AI \cdot BK = AC \cdot CB \).
- Điểm \( E \) nằm trên nửa đường tròn đường kính \( AB \).

---

Nếu bạn cần mình trình bày chi tiết hơn từng bước chứng minh bằng hình vẽ hoặc phương pháp cụ thể, bạn có thể yêu cầu nhé!