Để tính độ dài các cạnh $BC$ và $AB$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$, chúng ta sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn.

1. Tính cạnh $BC$
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có tỉ số lượng giác của góc $C$ như sau:

$\sin C = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$
Tuy nhiên, để tìm $BC$ trực tiếp từ $AC$, ta sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền thông qua $\cos C$:

$\cos C = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$
Trước hết, ta cần tìm $\cos C$. Ta có công thức:

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$
$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 C = 1 \implies \frac{9}{25} + \cos^2 C = 1$
$\cos^2 C = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \cos C = \frac{4}{5}$
Áp dụng vào công thức $\cos C = \frac{AC}{BC}$:

$\frac{4}{5} = \frac{8}{BC}$
$BC = \frac{8 \times 5}{4} = 10 \text{ (cm)}$
2. Tính cạnh $AB$
Có hai cách để tính cạnh $AB$:

Cách 1: Sử dụng định lý Pytago

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$AB^2 + 8^2 = 10^2$
$AB^2 + 64 = 100$
$AB^2 = 36 \implies AB = 6 \text{ (cm)}$
Cách 2: Sử dụng tỉ số lượng giác $\sin C$

$\sin C = \frac{AB}{BC}$
$\frac{3}{5} = \frac{AB}{10}$
$AB = \frac{3 \times 10}{5} = 6 \text{ (cm)}$
Kết quả: $BC = 10 \text{ cm}$ và $AB = 6 \text{ cm}$.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Video này cung cấp kiến thức nền tảng về hệ thức giữa cạnh góc vuông với cạnh huyền và các tỉ số lượng giác, giúp bạn củng cố cách áp dụng công thức cho các bài toán tương tự.

- Bài toán cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \).
- Biết \(\sin C = \frac{3}{5}\) và \( AC = 8 \, cm \).
- Yêu cầu: Tính \( AB \) và \( BC \).

---

**Bước 1: Xác định các góc và cạnh trong tam giác**

- Tam giác vuông tại \( A \) nên góc \( A = 90^\circ \).
- Các góc còn lại là \( B \) và \( C \), với \( B + C = 90^\circ \).
- Đã biết \(\sin C = \frac{3}{5}\).

---

**Bước 2: Tính các cạnh dựa vào góc \( C \)**

- Trong tam giác vuông tại \( A \), cạnh đối diện góc \( C \) là \( AB \).
- Cạnh kề góc \( C \) là \( AC \).
- Cạnh huyền là \( BC \).

Vì vậy:

\[
\sin C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}
\]

\[
\cos C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC}
\]

---

**Bước 3: Tính \(\cos C\)**

\[
\sin^2 C + \cos^2 C = 1 \Rightarrow \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
\]

---

**Bước 4: Tính \( BC \) từ \( AC \) và \(\cos C\)**

\[
\cos C = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AC}{\cos C} = \frac{8}{\frac{4}{5}} = 8 \times \frac{5}{4} = 10 \, cm
\]

---

**Bước 5: Tính \( AB \) từ \( BC \) và \(\sin C\)**

\[
\sin C = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = BC \times \sin C = 10 \times \frac{3}{5} = 6 \, cm
\]

---

**Kết luận:**

- \( AB = 6 \, cm \)
- \( BC = 10 \, cm \)