Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ các thông tin và yêu cầu:

- Màn hình ban đầu có kích thước 14 inches (đây là độ dài đường chéo màn hình).
- Chiều ngang màn hình giảm 3 inches.
- Cần tìm chiều dọc màn hình giảm bao nhiêu inches để màn hình mới có đường chéo là 9 inches.

Giả sử:

- Chiều ngang ban đầu là \( x \) inches.
- Chiều dọc ban đầu là \( y \) inches.
- Sau khi giảm, chiều ngang còn \( x - 3 \) inches.
- Chiều dọc còn \( y - d \) inches, trong đó \( d \) là số inches cần tìm.

Ta có các bước giải như sau:

- Vì màn hình là hình chữ nhật, theo định lý Pythagore, đường chéo màn hình thỏa mãn:

\[
x^2 + y^2 = 14^2 = 196
\]

- Sau khi giảm kích thước, đường chéo mới là 9 inches, nên:

\[
(x - 3)^2 + (y - d)^2 = 9^2 = 81
\]

- Ta cần tìm \( d \).

Tuy nhiên, ta có 2 ẩn \( x \) và \( y \) mà chỉ có 2 phương trình, nên ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \) từ phương trình đầu:

\[
y = \sqrt{196 - x^2}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
(x - 3)^2 + \left(\sqrt{196 - x^2} - d\right)^2 = 81
\]

Ta cần tìm \( d \), nhưng vẫn còn ẩn \( x \).

**Giả thiết hợp lý:**

Thông thường, khi giảm kích thước màn hình, tỉ lệ chiều ngang và chiều dọc giữ nguyên (tức là màn hình không bị méo, chỉ thu nhỏ tỉ lệ đều). Nhưng ở đây, chiều ngang giảm 3 inches cố định, nên tỉ lệ có thể thay đổi.

Nếu giả sử tỉ lệ chiều ngang và chiều dọc ban đầu là cố định, tức là:

\[
\frac{x}{y} = \frac{x - 3}{y - d}
\]

Từ đó ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{x - 3}{y - d} \implies x(y - d) = y(x - 3) \implies xy - xd = xy - 3y \implies -xd = -3y \implies d = \frac{3y}{x}
\]

Ta thay \( d = \frac{3y}{x} \) vào phương trình đường chéo mới:

\[
(x - 3)^2 + \left(y - \frac{3y}{x}\right)^2 = 81
\]

\[
(x - 3)^2 + y^2 \left(1 - \frac{3}{x}\right)^2 = 81
\]

\[
(x - 3)^2 + y^2 \left(\frac{x - 3}{x}\right)^2 = 81
\]

\[
(x - 3)^2 + y^2 \frac{(x - 3)^2}{x^2} = 81
\]

\[
(x - 3)^2 \left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) = 81
\]

Nhớ rằng \( y^2 = 196 - x^2 \), nên:

\[
(x - 3)^2 \left(1 + \frac{196 - x^2}{x^2}\right) = 81
\]

\[
(x - 3)^2 \left(\frac{x^2 + 196 - x^2}{x^2}\right) = 81
\]

\[
(x - 3)^2 \frac{196}{x^2} = 81
\]

\[
\frac{(x - 3)^2}{x^2} = \frac{81}{196}
\]

Lấy căn bậc hai hai vế:

\[
\frac{|x - 3|}{x} = \frac{9}{14}
\]

Giải hai trường hợp:

1. \( \frac{x - 3}{x} = \frac{9}{14} \implies 1 - \frac{3}{x} = \frac{9}{14} \implies \frac{3}{x} = 1 - \frac{9}{14} = \frac{5}{14} \implies x = \frac{3 \times 14}{5} = \frac{42}{5} = 8.4 \)

2. \( \frac{3 - x}{x} = \frac{9}{14} \implies \frac{3}{x} - 1 = \frac{9}{14} \implies \frac{3}{x} = 1 + \frac{9}{14} = \frac{23}{14} \implies x = \frac{3 \times 14}{23} = \frac{42}{23} \approx 1.826 \)

Chiều ngang ban đầu phải lớn hơn 3 inches (vì giảm 3 inches vẫn còn dương), nên chọn \( x = 8.4 \) inches.

- Tính \( y \):

\[
y = \sqrt{196 - x^2} = \sqrt{196 - 8.4^2} = \sqrt{196 - 70.56} = \sqrt{125.44} = 11.2
\]

- Tính \( d \):

\[
d = \frac{3y}{x} = \frac{3 \times 11.2}{8.4} = \frac{33.6}{8.4} = 4
\]

**Kết luận:**

- Chiều dọc màn hình phải giảm **4 inches** để màn hình sau khi giảm có đường chéo 9 inches và giữ tỉ lệ kích thước.

---

**Đáp án cuối cùng:**

\[
\boxed{4 \text{ inches}}
\]

Chiều dọc màn hình phải giảm 4 inches.