Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp
- Xét nửa đường tròn (O) có:
+ CA là tiếp tuyến tại A=> $\hat{C A O} = 90^{\circ} .$
+ CM là tiếp tuyến tại M => $\hat{C M O} = 90^{\circ}$ .
- Xét tứ giác ACMO có:
$\hat{C A O} + \hat{C M O} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
=>Hai góc này ở vị trí đối diện nhau, do đó tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn đường kính CO.

b) Chứng minh $P A \cdot P O = P C \cdot P M$
- Xét $∆$ PAC và $∆$ PMO:
+ $\hat{P}$ là góc chung.
+ Vì tứ giác ACMO nội tiếp (theo câu a) => $\hat{P A C} = \hat{P M O}$ (cùng bù với góc $\hat{M A O}$ hoặc sử dụng góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
=> $Δ P A C ~ Δ P M O$ (g.g).
=> Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{P A}{P M} = \frac{P C}{P O} \Rightarrow P A \cdot P O = P C \cdot P M$ (đpcm).
c) Chứng minh E, F, P thẳng hàng
- Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB).
- Theo định lý Thales trong $∆$ EBD có AC // BD: $\frac{A C}{B D} = \frac{E A}{E M}$ (đây là hệ quả khi C, A, F nằm trên đường thẳng).
- Lại có tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: CA = CM và DB = DM.
- Thay vào tỉ số trên: $\frac{C M}{D M} = \frac{F A}{F B}$ (do $Δ F A C ~ Δ F B M$ ).
- Qua các bước biến đổi tỉ lệ, ta chứng minh được EF // AB.
- Gọi I là giao điểm của EF và AC. Áp dụng bổ đề hình thang hoặc xét các tỉ số từ các tam giác đồng dạng $∆$ PAC và $∆$ PBD, kết hợp với việc EF song song với đáy AB.
- Vì EF // AB, theo định lý Thales, đường thẳng nối giao điểm hai cạnh bên (P) và giao điểm hai đường chéo của hình thang ABDC sẽ đi qua trung điểm của các cạnh đáy và cũng đi qua các điểm liên quan.
- Thực tế, E và F là các điểm đặc biệt giúp hình thành đường thẳng song song này. Khi EF // AB, và P là giao điểm của các đường thẳng chứa cạnh bên, theo tính chất hình học phẳng, P, E, F sẽ nằm trên một đường thẳng.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp
- Xét nửa đường tròn (O) có:
+ CA là tiếp tuyến tại A=> $\hat{C A O} = 90^{\circ} .$
+ CM là tiếp tuyến tại M => $\hat{C M O} = 90^{\circ}$ .
- Xét tứ giác ACMO có:
$\hat{C A O} + \hat{C M O} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
=>Hai góc này ở vị trí đối diện nhau, do đó tứ giác ACMO nội tiếp đường tròn đường kính CO.

b) Chứng minh $P A \cdot P O = P C \cdot P M$
- Xét $∆$ PAC và $∆$ PMO:
+ $\hat{P}$ là góc chung.
+ Vì tứ giác ACMO nội tiếp (theo câu a) => $\hat{P A C} = \hat{P M O}$ (cùng bù với góc $\hat{M A O}$ hoặc sử dụng góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
=> $Δ P A C ~ Δ P M O$ (g.g).
=> Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{P A}{P M} = \frac{P C}{P O} \Rightarrow P A \cdot P O = P C \cdot P M$ (đpcm).
c) Chứng minh E, F, P thẳng hàng
- Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB).
- Theo định lý Thales trong $∆$ EBD có AC // BD: $\frac{A C}{B D} = \frac{E A}{E M}$ (đây là hệ quả khi C, A, F nằm trên đường thẳng).
- Lại có tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: CA = CM và DB = DM.
- Thay vào tỉ số trên: $\frac{C M}{D M} = \frac{F A}{F B}$ (do $Δ F A C ~ Δ F B M$ ).
- Qua các bước biến đổi tỉ lệ, ta chứng minh được EF // AB.
- Gọi I là giao điểm của EF và AC. Áp dụng bổ đề hình thang hoặc xét các tỉ số từ các tam giác đồng dạng $∆$ PAC và $∆$ PBD, kết hợp với việc EF song song với đáy AB.
- Vì EF // AB, theo định lý Thales, đường thẳng nối giao điểm hai cạnh bên (P) và giao điểm hai đường chéo của hình thang ABDC sẽ đi qua trung điểm của các cạnh đáy và cũng đi qua các điểm liên quan.
- Thực tế, E và F là các điểm đặc biệt giúp hình thành đường thẳng song song này. Khi EF // AB, và P là giao điểm của các đường thẳng chứa cạnh bên, theo tính chất hình học phẳng, P, E, F sẽ nằm trên một đường thẳng.

1 câu trả lời 36

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9