Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

Gọi D là trung điểm AO

$△$ OAB có BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> BD = DO = OA

=> 3 điểm O, A, B cùng thuộc đường tròn (D, DO) (1)

$△$ OAC có CD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyên

=> CD = DO = DA

=> 3 điểm O, A, C cùng thuộc đường tròn (D, DO) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn (O, OD)

Có OA là tia phân giác $\hat{B O C}$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> $\hat{B O D} = 60 °$

=> $△$ BDO cân tại D có 1 góc = 60⁰

=> $△$ BOD đều

=> OD = OB = 3 cm

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

Gọi D là trung điểm AO

$△$ OAB có BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> BD = DO = OA

=> 3 điểm O, A, B cùng thuộc đường tròn (D, DO) (1)

$△$ OAC có CD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyên

=> CD = DO = DA

=> 3 điểm O, A, C cùng thuộc đường tròn (D, DO) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn (O, OD)

Có OA là tia phân giác $\hat{B O C}$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> $\hat{B O D} = 60 °$

=> $△$ BDO cân tại D có 1 góc = 60⁰

=> $△$ BOD đều

=> OD = OB = 3 cm

Answer 3

Đề bài cho:

Đường tròn tâm $O$ O bán kính $R = 3 cm$ R=3 cm.
Hai điểm $B, C$ B,C thuộc đường tròn $(O)$ (O) sao cho góc $∠ B O C = 12 0^{\circ}$ ∠BOC=120∘.
Tiếp tuyến của $(O)$ (O) tại $B$ B và $C$ C cắt nhau tại $A$ A.

Yêu cầu:

Chứng minh bốn điểm $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn.
Tính bán kính của đường tròn đó.

Bước 1: Phân tích và ghi nhớ các tính chất

$B, C$ B,C thuộc đường tròn $(O)$ (O) bán kính 3 cm.
Góc ở tâm $∠ B O C = 12 0^{\circ}$ ∠BOC=120∘.
Tiếp tuyến tại $B$ B và $C$ C là các đường thẳng vuông góc với bán kính $O B$ OB và $O C$ OC tương ứng.
Giao điểm của hai tiếp tuyến là $A$ A.

Bước 2: Chứng minh bốn điểm

A, B, O, C

A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

Vì $A$ A là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B$ B và $C$ C, ta có:
- $A B$ AB là tiếp tuyến tại $B$ B nên $A B ⊥ O B$ AB⊥OB.
- $A C$ AC là tiếp tuyến tại $C$ C nên $A C ⊥ O C$ AC⊥OC.
Xét tứ giác $A B O C$ ABOC:
- Ta có $∠ A B O = 9 0^{\circ}$ ∠ABO=90∘ (vì $A B ⊥ O B$ AB⊥OB).
- Ta có $∠ A C O = 9 0^{\circ}$ ∠ACO=90∘ (vì $A C ⊥ O C$ AC⊥OC).
Do đó, hai góc $∠ A B O$ ∠ABO và $∠ A C O$ ∠ACO đều bằng $9 0^{\circ}$ 90∘.
Điều này có nghĩa là điểm $A$ A nằm trên đường tròn đường kính $B C$ BC (vì góc tạo bởi dây $B C$ BC ở điểm $A$ A là góc vuông).
Nhưng $B, C$ B,C nằm trên đường tròn $(O)$ (O), và $O$ O là tâm đường tròn đó.
Ta cần chứng minh $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn.
Vì $∠ A B O = ∠ A C O = 9 0^{\circ}$ ∠ABO=∠ACO=90∘, điểm $A$ A nằm trên đường tròn có đường kính $B C$ BC.
Đồng thời, $O$ O nằm trên đường tròn $(O)$ (O) bán kính 3 cm.
Ta sẽ chứng minh $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn bằng cách chứng minh $∠ B A C = ∠ B O C$ ∠BAC=∠BOC hoặc sử dụng tính chất góc nội tiếp.

Bước 3: Tính khoảng cách

B C

BC

Vì $B, C$ B,C thuộc đường tròn tâm $O$ O, bán kính 3 cm, và góc $∠ B O C = 12 0^{\circ}$ ∠BOC=120∘, ta có:

B C = 2 R \sin \frac{∠ B O C}{2} = 2 \times 3 \times \sin 6 0^{\circ} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} cm

BC=2Rsin2∠BOC=2×3×sin60∘=6×23=33 cm

Bước 4: Tính khoảng cách

A O

AO

Giao điểm $A$ A của hai tiếp tuyến tại $B$ B và $C$ C có tính chất:
- Khoảng cách từ $A$ A đến $O$ O là:

A O = \frac{R}{\cos \frac{∠ B O C}{2}} = \frac{3}{\cos 6 0^{\circ}} = \frac{3}{0.5} = 6 cm

AO=cos2∠BOCR=cos60∘3=0.53=6 cm

(Đây là công thức tính khoảng cách từ tâm đến giao điểm hai tiếp tuyến tạo góc $∠ B O C$ ∠BOC).

Bước 5: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác

A B O C

ABOC

Ta xét tứ giác $A B O C$ ABOC.
Vì $∠ A B O = ∠ A C O = 9 0^{\circ}$ ∠ABO=∠ACO=90∘, tứ giác $A B O C$ ABOC nội tiếp được trong một đường tròn.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B O C$ ABOC là khoảng cách từ trung điểm $M$ M của $B C$ BC đến $A$ A hoặc $O$ O.
Trung điểm $M$ M của $B C$ BC có tọa độ trung bình, và ta có thể tính bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng công thức:

R^{'} = \frac{A O}{2 \sin \frac{∠ B O C}{2}} = \frac{6}{2 \sin 6 0^{\circ}} = \frac{6}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} cm

R′=2sin2∠BOCAO=2sin60∘6=2×236=36=23 cm

Kết luận:

Bốn điểm $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn vì tứ giác $A B O C$ ABOC có hai góc $9 0^{\circ}$ 90∘ đối diện nhau, nên nội tiếp được.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B O C$ ABOC là $R^{'} = 2 \sqrt{3} cm$ R′=23 cm.

Đáp án cuối cùng:

Chứng minh: Bốn điểm $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn vì tứ giác $A B O C$ ABOC có hai góc $9 0^{\circ}$ 90∘ đối diện nhau (góc tạo bởi tiếp tuyến và bán kính), nên nội tiếp được.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B O C$ ABOC:

R^{'} = 2 \sqrt{3} cm

R′=23 cm

...Xem thêm

Answer 4

Đề bài cho:

Đường tròn tâm $O$ O bán kính $R = 3 cm$ R=3 cm.
Hai điểm $B, C$ B,C thuộc đường tròn $(O)$ (O) sao cho góc $∠ B O C = 12 0^{\circ}$ ∠BOC=120∘.
Tiếp tuyến của $(O)$ (O) tại $B$ B và $C$ C cắt nhau tại $A$ A.

Yêu cầu:

Chứng minh bốn điểm $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn.
Tính bán kính của đường tròn đó.

Bước 1: Phân tích và ghi nhớ các tính chất

$B, C$ B,C thuộc đường tròn $(O)$ (O) bán kính 3 cm.
Góc ở tâm $∠ B O C = 12 0^{\circ}$ ∠BOC=120∘.
Tiếp tuyến tại $B$ B và $C$ C là các đường thẳng vuông góc với bán kính $O B$ OB và $O C$ OC tương ứng.
Giao điểm của hai tiếp tuyến là $A$ A.

Bước 2: Chứng minh bốn điểm

A, B, O, C

A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

Vì $A$ A là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B$ B và $C$ C, ta có:
- $A B$ AB là tiếp tuyến tại $B$ B nên $A B ⊥ O B$ AB⊥OB.
- $A C$ AC là tiếp tuyến tại $C$ C nên $A C ⊥ O C$ AC⊥OC.
Xét tứ giác $A B O C$ ABOC:
- Ta có $∠ A B O = 9 0^{\circ}$ ∠ABO=90∘ (vì $A B ⊥ O B$ AB⊥OB).
- Ta có $∠ A C O = 9 0^{\circ}$ ∠ACO=90∘ (vì $A C ⊥ O C$ AC⊥OC).
Do đó, hai góc $∠ A B O$ ∠ABO và $∠ A C O$ ∠ACO đều bằng $9 0^{\circ}$ 90∘.
Điều này có nghĩa là điểm $A$ A nằm trên đường tròn đường kính $B C$ BC (vì góc tạo bởi dây $B C$ BC ở điểm $A$ A là góc vuông).
Nhưng $B, C$ B,C nằm trên đường tròn $(O)$ (O), và $O$ O là tâm đường tròn đó.
Ta cần chứng minh $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn.
Vì $∠ A B O = ∠ A C O = 9 0^{\circ}$ ∠ABO=∠ACO=90∘, điểm $A$ A nằm trên đường tròn có đường kính $B C$ BC.
Đồng thời, $O$ O nằm trên đường tròn $(O)$ (O) bán kính 3 cm.
Ta sẽ chứng minh $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn bằng cách chứng minh $∠ B A C = ∠ B O C$ ∠BAC=∠BOC hoặc sử dụng tính chất góc nội tiếp.

Bước 3: Tính khoảng cách

B C

BC

Vì $B, C$ B,C thuộc đường tròn tâm $O$ O, bán kính 3 cm, và góc $∠ B O C = 12 0^{\circ}$ ∠BOC=120∘, ta có:

B C = 2 R \sin \frac{∠ B O C}{2} = 2 \times 3 \times \sin 6 0^{\circ} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} cm

BC=2Rsin2∠BOC=2×3×sin60∘=6×23=33 cm

Bước 4: Tính khoảng cách

A O

AO

Giao điểm $A$ A của hai tiếp tuyến tại $B$ B và $C$ C có tính chất:
- Khoảng cách từ $A$ A đến $O$ O là:

A O = \frac{R}{\cos \frac{∠ B O C}{2}} = \frac{3}{\cos 6 0^{\circ}} = \frac{3}{0.5} = 6 cm

AO=cos2∠BOCR=cos60∘3=0.53=6 cm

(Đây là công thức tính khoảng cách từ tâm đến giao điểm hai tiếp tuyến tạo góc $∠ B O C$ ∠BOC).

Bước 5: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác

A B O C

ABOC

Ta xét tứ giác $A B O C$ ABOC.
Vì $∠ A B O = ∠ A C O = 9 0^{\circ}$ ∠ABO=∠ACO=90∘, tứ giác $A B O C$ ABOC nội tiếp được trong một đường tròn.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B O C$ ABOC là khoảng cách từ trung điểm $M$ M của $B C$ BC đến $A$ A hoặc $O$ O.
Trung điểm $M$ M của $B C$ BC có tọa độ trung bình, và ta có thể tính bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng công thức:

R^{'} = \frac{A O}{2 \sin \frac{∠ B O C}{2}} = \frac{6}{2 \sin 6 0^{\circ}} = \frac{6}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} cm

R′=2sin2∠BOCAO=2sin60∘6=2×236=36=23 cm

Kết luận:

Bốn điểm $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn vì tứ giác $A B O C$ ABOC có hai góc $9 0^{\circ}$ 90∘ đối diện nhau, nên nội tiếp được.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B O C$ ABOC là $R^{'} = 2 \sqrt{3} cm$ R′=23 cm.

Đáp án cuối cùng:

Chứng minh: Bốn điểm $A, B, O, C$ A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn vì tứ giác $A B O C$ ABOC có hai góc $9 0^{\circ}$ 90∘ đối diện nhau (góc tạo bởi tiếp tuyến và bán kính), nên nội tiếp được.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B O C$ ABOC:

R^{'} = 2 \sqrt{3} cm

R′=23 cm

Answer 5

Bài giải
Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn tại B, C.

👉 Ta có:

OB ⟂ AB (bán kính vuông góc với tiếp tuyến)
OC ⟂ AC
⇒ ∠ABO = 90° và ∠ACO = 90°

a) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác ABOC:

Ta có:

∠ABO = 90°
∠ACO = 90°
⇒ ∠ABO + ∠ACO = 180°

⇒ Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp

👉 Vậy 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

Xác định bán kính đường tròn đó
Vì:

∠ABO = 90° ⇒ điểm B nằm trên đường tròn đường kính AO
∠ACO = 90° ⇒ điểm C cũng nằm trên đường tròn đường kính AO
⇒ Đường tròn đi qua A, B, O, C là đường tròn có đường kính AO

👉 Bán kính của đường tròn đó là:
AO / 2

4 câu trả lời 81

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9