Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta xét tam giác OAB với đường tròn nội tiếp tiếp xúc OA,OB,AB lần lượt tại E,F,D.

a) Chứng minh OE=OF= $\frac{O A + O B - A B}{2}$
Gọi:

OA=a, OB=b, AB=c
p= $\frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác
Tính chất của tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn:

Từ A: AE=AD
Từ B: BF=BD
Từ O: OE=OF
Ta có:

AE=p−a,BF=p−b,OD=p−c

Xét trên cạnh OA:

OE=OA−AE=a−(p−a)=2a−p

Thay p= $\frac{a + b + c}{2}$ :

OE=2a- $\frac{a + b + c}{2} = \frac{2 a - b - c}{2}$

Nhưng do cách đặt biến, ta cần biểu diễn theo OA,OB,AB:

Ta có công thức chuẩn:

OE=p−AB= $\frac{a + b + c}{2} - c = \frac{a + b + - c}{2}$

Suy ra:

OE=OF= $\frac{O A + O B - A B}{2}$
b) Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Từ câu a:

OE=OF= $\frac{O A + O B - A B }{2}$

Suy ra:

OA+OB−AB=2OE

Giả sử chu vi tam giác không đổi:

OA+OB+AB=hằng số

Gọi hằng số đó là 2p, ta có:

AB=2p−(OA+OB)

Thay vào biểu thức:

OE= $\frac{O A + O B - (2 p - O A - O B)}{2} = \frac{2 (O A + O B) - 2 p}{2} = O A + O B$

Suy ra:

OE+p=OA+OB=không đổi

→ OE không đổi

Vì:

OE=OF là khoảng cách từ O đến các tiếp điểm
Nên đường tròn nội tiếp luôn có bán kính không đổi và tâm nằm trên tia phân giác góc xOy
⇒ Đường tròn nội tiếp là đường tròn cố định

Mà AB luôn là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp

Suy ra:

AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Kết luận
a) OE=OF= $\frac{O A + O B - A B}{2}$
b) Khi chu vi không đổi, đường tròn nội tiếp cố định ⇒ AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó

...Xem thêm

Answer 2

Ta xét tam giác OAB với đường tròn nội tiếp tiếp xúc OA,OB,AB lần lượt tại E,F,D.

a) Chứng minh OE=OF= $\frac{O A + O B - A B}{2}$
Gọi:

OA=a, OB=b, AB=c
p= $\frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác
Tính chất của tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn:

Từ A: AE=AD
Từ B: BF=BD
Từ O: OE=OF
Ta có:

AE=p−a,BF=p−b,OD=p−c

Xét trên cạnh OA:

OE=OA−AE=a−(p−a)=2a−p

Thay p= $\frac{a + b + c}{2}$ :

OE=2a- $\frac{a + b + c}{2} = \frac{2 a - b - c}{2}$

Nhưng do cách đặt biến, ta cần biểu diễn theo OA,OB,AB:

Ta có công thức chuẩn:

OE=p−AB= $\frac{a + b + c}{2} - c = \frac{a + b + - c}{2}$

Suy ra:

OE=OF= $\frac{O A + O B - A B}{2}$
b) Chứng minh AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Từ câu a:

OE=OF= $\frac{O A + O B - A B }{2}$

Suy ra:

OA+OB−AB=2OE

Giả sử chu vi tam giác không đổi:

OA+OB+AB=hằng số

Gọi hằng số đó là 2p, ta có:

AB=2p−(OA+OB)

Thay vào biểu thức:

OE= $\frac{O A + O B - (2 p - O A - O B)}{2} = \frac{2 (O A + O B) - 2 p}{2} = O A + O B$

Suy ra:

OE+p=OA+OB=không đổi

→ OE không đổi

Vì:

OE=OF là khoảng cách từ O đến các tiếp điểm
Nên đường tròn nội tiếp luôn có bán kính không đổi và tâm nằm trên tia phân giác góc xOy
⇒ Đường tròn nội tiếp là đường tròn cố định

Mà AB luôn là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp

Suy ra:

AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Kết luận
a) OE=OF= $\frac{O A + O B - A B}{2}$
b) Khi chu vi không đổi, đường tròn nội tiếp cố định ⇒ AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó

1 câu trả lời 19

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9