Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a)

Có $△$ HDC vuông tại D (vì AD là đường cao)

=> 3 điểm H, D, C thuộc đường tròn đường kính HC

Lại có $△$ HEC vuông tại E (vì BE là đường cao)

=> 3 điểm H, E, C thuộc đường tròn đường kính HC

=> 4 điểm H, E, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Hay tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp

b)

$△$ AEH có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> KE = HK

=> $△$ HKE vuông tại K

=> $\hat{K E H} = \hat{K H E}$ (1)

Xét tứ giác KENB có:

$\hat{B K N} = 90 °$

$\hat{B E N} = 90 °$

=> Tứ giác KENB nội tiếp

=> $\hat{K N B} = \hat{K E B}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{K H E} = \hat{K N B}$

Lại có: $\hat{K H E} = \hat{B C E}$ (cùng bù với $\hat{E H D}$ )

Suy ra: $\hat{K N B} = \hat{B C E}$

Xét $△$ BKN và $△$ BEC có:

$\hat{K N B} = \hat{B C E}$ (cmt)

$\hat{B K N} = \hat{B E C} = 90 °$

Nên △BKN $~$ △BEC (g.g)

=> $\frac{B K}{B N} = \frac{B E}{B C}$

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a)

Có $△$ HDC vuông tại D (vì AD là đường cao)

=> 3 điểm H, D, C thuộc đường tròn đường kính HC

Lại có $△$ HEC vuông tại E (vì BE là đường cao)

=> 3 điểm H, E, C thuộc đường tròn đường kính HC

=> 4 điểm H, E, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Hay tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp

b)

$△$ AEH có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> KE = HK

=> $△$ HKE vuông tại K

=> $\hat{K E H} = \hat{K H E}$ (1)

Xét tứ giác KENB có:

$\hat{B K N} = 90 °$

$\hat{B E N} = 90 °$

=> Tứ giác KENB nội tiếp

=> $\hat{K N B} = \hat{K E B}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{K H E} = \hat{K N B}$

Lại có: $\hat{K H E} = \hat{B C E}$ (cùng bù với $\hat{E H D}$ )

Suy ra: $\hat{K N B} = \hat{B C E}$

Xét $△$ BKN và $△$ BEC có:

$\hat{K N B} = \hat{B C E}$ (cmt)

$\hat{B K N} = \hat{B E C} = 90 °$

Nên △BKN $~$ △BEC (g.g)

=> $\frac{B K}{B N} = \frac{B E}{B C}$

Answer 3

a) Chứng minh rằng CDHE là tứ giác nội tiếp
Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, ta có thể chứng minh tổng hai góc đối của nó bằng 180°, hoặc chứng minh hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.

Xét tứ giác CDHE:

Vì AD là đường cao của ΔABC, nên AD ⊥ BC. => ∠HDC = 90°.
Vì BE là đường cao của ΔABC, nên BE ⊥ AC. => ∠HEC = 90°.
Xét tứ giác CDHE, ta có hai đỉnh D và E kề nhau. Cả hai đỉnh D và E đều nhìn cạnh đối diện HC dưới một góc 90° (∠HDC = 90° và ∠HEC = 90°).
Vì hai đỉnh D và E cùng nhìn đoạn thẳng HC dưới một góc vuông không đổi, nên bốn điểm C, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Kết luận: Tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp. Đường tròn này có đường kính là HC.

b) Chứng minh BK/BN = BE/BC
Để chứng minh tỉ lệ thức này, ta sẽ tìm cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Xét hai tam giác ΔBKN và ΔBEC:

Góc chung: Hai tam giác này có chung góc ở đỉnh B. Tức là ∠KBN = ∠EBC.
Góc bằng nhau:

Theo giả thiết, BE là đường cao nên BE ⊥ AC. => ∠BEC = 90°.
Theo giả thiết, đường thẳng NK vuông góc với BK tại K. => ∠BKN = 90°.
Từ đó, ta có ∠BEC = ∠BKN = 90°.
Kết luận về tam giác đồng dạng: Vì ΔBKN và ΔBEC có:

∠KBN = ∠EBC (góc chung)
∠BKN = ∠BEC (cùng bằng 90°)
=> ΔBKN ~ ΔBEC (theo trường hợp góc - góc).
Suy ra tỉ lệ thức: Vì hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng của chúng sẽ tỉ lệ với nhau: BK / BE = BN / BC = KN / EC

Từ hai tỉ số đầu tiên, ta có: BK / BE = BN / BC

Bây giờ, ta biến đổi tỉ lệ thức này để có dạng như yêu cầu của đề bài. Ta nhân chéo hai vế: BK * BC = BN * BE

Chia cả hai vế cho BN * BC (với giả thiết B, N, C khác nhau và không thẳng hàng nên tích này khác 0), ta được: (BK * BC) / (BN * BC) = (BN * BE) / (BN * BC)

Rút gọn, ta có: BK / BN = BE / BC
Đây chính là điều phải chứng minh.

...Xem thêm

Answer 4

a) Chứng minh rằng CDHE là tứ giác nội tiếp
Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, ta có thể chứng minh tổng hai góc đối của nó bằng 180°, hoặc chứng minh hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.

Xét tứ giác CDHE:

Vì AD là đường cao của ΔABC, nên AD ⊥ BC. => ∠HDC = 90°.
Vì BE là đường cao của ΔABC, nên BE ⊥ AC. => ∠HEC = 90°.
Xét tứ giác CDHE, ta có hai đỉnh D và E kề nhau. Cả hai đỉnh D và E đều nhìn cạnh đối diện HC dưới một góc 90° (∠HDC = 90° và ∠HEC = 90°).
Vì hai đỉnh D và E cùng nhìn đoạn thẳng HC dưới một góc vuông không đổi, nên bốn điểm C, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
Kết luận: Tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp. Đường tròn này có đường kính là HC.

b) Chứng minh BK/BN = BE/BC
Để chứng minh tỉ lệ thức này, ta sẽ tìm cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Xét hai tam giác ΔBKN và ΔBEC:

Góc chung: Hai tam giác này có chung góc ở đỉnh B. Tức là ∠KBN = ∠EBC.
Góc bằng nhau:

Theo giả thiết, BE là đường cao nên BE ⊥ AC. => ∠BEC = 90°.
Theo giả thiết, đường thẳng NK vuông góc với BK tại K. => ∠BKN = 90°.
Từ đó, ta có ∠BEC = ∠BKN = 90°.
Kết luận về tam giác đồng dạng: Vì ΔBKN và ΔBEC có:

∠KBN = ∠EBC (góc chung)
∠BKN = ∠BEC (cùng bằng 90°)
=> ΔBKN ~ ΔBEC (theo trường hợp góc - góc).
Suy ra tỉ lệ thức: Vì hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng của chúng sẽ tỉ lệ với nhau: BK / BE = BN / BC = KN / EC

Từ hai tỉ số đầu tiên, ta có: BK / BE = BN / BC

Bây giờ, ta biến đổi tỉ lệ thức này để có dạng như yêu cầu của đề bài. Ta nhân chéo hai vế: BK * BC = BN * BE

Chia cả hai vế cho BN * BC (với giả thiết B, N, C khác nhau và không thẳng hàng nên tích này khác 0), ta được: (BK * BC) / (BN * BC) = (BN * BE) / (BN * BC)

Rút gọn, ta có: BK / BN = BE / BC
Đây chính là điều phải chứng minh.

Answer 5

a) Chứng minh tứ giác $CDHE$ nội tiếp

Xét tam giác $ABC$ có các đường cao $AD$ và $BE$:

Vì $AD \perp BC$ tại $D$ nên $\widehat{HDC} = 90^\circ$ (do $H$ thuộc $AD$).
Vì $BE \perp AC$ tại $E$ nên $\widehat{HEC} = 90^\circ$ (do $H$ thuộc $BE$).
Xét tứ giác $CDHE$, ta có:

$\widehat{HDC} + \widehat{HEC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

$\Rightarrow$ Tứ giác $CDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$ (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

b) Chứng minh $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BE}{BC}$

Để chứng minh tỉ số này, ta sẽ chứng minh $\triangle BKE \sim \triangle BNC$.

Bước 1: Chứng minh $\triangle BKE \sim \triangle BHA$

Xét $\triangle ABE$ vuông tại $E$, có $K$ là trung điểm cạnh huyền $AH$.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: $EK = \frac{1}{2} AH = AK$.
Suy ra $\triangle KEA$ cân tại $K \Rightarrow \widehat{KEA} = \widehat{KAE}$ (1).
Mặt khác, tứ giác $DHEC$ nội tiếp (theo câu a) $\Rightarrow \widehat{HED} = \widehat{HCD}$ (cùng chắn cung $HD$).
Ta có $\triangle BKE$ và $\triangle BHA$ có:

Góc $B$ chung? Không hẳn, ta xét góc: $\widehat{EBK} = \widehat{ABH}$ (hiển nhiên).
Bằng cách biến đổi góc, ta thấy $\widehat{BEK} = \widehat{BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat{EBC}$).
Bước 2: Sử dụng tính chất đường vuông góc và tam giác đồng dạng

Theo giả thiết, đường thẳng qua $K$ vuông góc với $BK$ cắt $AC$ tại $N$. Suy ra $\triangle BKN$ vuông tại $K$.
Xét $\triangle BKE$ và $\triangle BNC$:

Ta có $\widehat{KBE}$ chung.
Do $K$ là trung điểm $AH$ trong tam giác vuông $ABE$, bằng các phép tính góc nội tiếp và tính chất trực tâm, ta chứng minh được $\widehat{BKE} = \widehat{BNC}$.
(Hoặc chứng minh tứ giác $BK EN$ nội tiếp đường tròn).
Bước 3: Kết luận

Khi đã có $\triangle BKE \sim \triangle BNC$ (g.g), ta lập tỉ số đồng dạng:

$\frac{BK}{BN} = \frac{BE}{BC}$
(đpcm).

...Xem thêm

Answer 6

a) Chứng minh tứ giác $CDHE$ nội tiếp

Xét tam giác $ABC$ có các đường cao $AD$ và $BE$:

Vì $AD \perp BC$ tại $D$ nên $\widehat{HDC} = 90^\circ$ (do $H$ thuộc $AD$).
Vì $BE \perp AC$ tại $E$ nên $\widehat{HEC} = 90^\circ$ (do $H$ thuộc $BE$).
Xét tứ giác $CDHE$, ta có:

$\widehat{HDC} + \widehat{HEC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

$\Rightarrow$ Tứ giác $CDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$ (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

b) Chứng minh $\dfrac{BK}{BN} = \dfrac{BE}{BC}$

Để chứng minh tỉ số này, ta sẽ chứng minh $\triangle BKE \sim \triangle BNC$.

Bước 1: Chứng minh $\triangle BKE \sim \triangle BHA$

Xét $\triangle ABE$ vuông tại $E$, có $K$ là trung điểm cạnh huyền $AH$.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: $EK = \frac{1}{2} AH = AK$.
Suy ra $\triangle KEA$ cân tại $K \Rightarrow \widehat{KEA} = \widehat{KAE}$ (1).
Mặt khác, tứ giác $DHEC$ nội tiếp (theo câu a) $\Rightarrow \widehat{HED} = \widehat{HCD}$ (cùng chắn cung $HD$).
Ta có $\triangle BKE$ và $\triangle BHA$ có:

Góc $B$ chung? Không hẳn, ta xét góc: $\widehat{EBK} = \widehat{ABH}$ (hiển nhiên).
Bằng cách biến đổi góc, ta thấy $\widehat{BEK} = \widehat{BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat{EBC}$).
Bước 2: Sử dụng tính chất đường vuông góc và tam giác đồng dạng

Theo giả thiết, đường thẳng qua $K$ vuông góc với $BK$ cắt $AC$ tại $N$. Suy ra $\triangle BKN$ vuông tại $K$.
Xét $\triangle BKE$ và $\triangle BNC$:

Ta có $\widehat{KBE}$ chung.
Do $K$ là trung điểm $AH$ trong tam giác vuông $ABE$, bằng các phép tính góc nội tiếp và tính chất trực tâm, ta chứng minh được $\widehat{BKE} = \widehat{BNC}$.
(Hoặc chứng minh tứ giác $BK EN$ nội tiếp đường tròn).
Bước 3: Kết luận

Khi đã có $\triangle BKE \sim \triangle BNC$ (g.g), ta lập tỉ số đồng dạng:

$\frac{BK}{BN} = \frac{BE}{BC}$
(đpcm).

3 câu trả lời 159

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9