Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh ACMO là tứ giác nội tiếp
- Theo giả thiết, AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A, nên AC $⊥$ AB.
=> $\hat{C A O} = 90^{\circ}$ .
CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M, nên CD $⊥$ OM.
=> $\hat{C M O} = 90^{\circ} .$
- Xét tứ giác ACMO, ta có tổng hai góc đối:
$\hat{C A O} + \hat{C M O} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Vậy ACMO là tứ giác nội tiếp đường tròn (có đường kính là OC).

b) Chứng minh $P A \cdot P O = P C \cdot P M$
- Từ câu a, ta có A, C, M, O cùng nằm trên một đường tròn.
- Hai đường thẳng AO (cũng chính là đường thẳng AB) và đường thẳng CM (cũng chính là đường thẳng CD) cắt nhau tại P.
- Xét $∆$ PAM và $∆$ PCO, ta có:
Góc $\hat{P}$ chung.
$\hat{P M A} = \hat{P O C}$ (Đây là tính chất của tứ giác nội tiếp ACMO: góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Cụ thể, $\hat{P M A}$ kề bù với $\hat{A M C}$ , mà trong tứ giác nội tiếp ACMO thì $\hat{A O C}$ (hay $\hat{P O C}$ ) cũng bù với $\hat{A M C}$ ).
Do đó, $△ P A M ~ △ P C O$ (g-g).
- Từ tính chất hai tam giác đồng dạng, ta lập được tỉ số: $\frac{P A}{P C} = \frac{P M}{P O}$
=> $P A \cdot P O = P C \cdot P M$
(Lưu ý: Đây cũng chính là ứng dụng của định lý Phương tích của một điểm nằm ngoài đường tròn).

c) Chứng minh $\hat{C A M} = \hat{O D M}$
- Xét nửa đường tròn (O), góc CAM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung AM. Do đó:
$\hat{C A M}$ = $\frac{1}{2}$ số đo cung AM
- Góc $\hat{A B M}$ là góc nội tiếp chắn cung AM, nên:
$\hat{A B M} = \frac{1}{2}$ số đo cung AM
=> $\hat{C A M} = \hat{A B M}$ (1)
- Xét tứ giác BDMO, ta có:
$B D ⟂ A B$ => $\hat{D B O} = 90^{\circ}$ .
$C D ⟂ O M$ => $\hat{D M O} = 90^{\circ} .$
Vì: $\hat{D B O} + \hat{D M O} = 180^{\circ}$ => BDMO là tứ giác nội tiếp.
- Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDMO, hai góc $\hat{O D M}$ và $\hat{O B M}$ (chính là $\hat{A B M}$ ) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM.
=> $\hat{O D M}$ = $\hat{A B M}$ (2)
Từ (1) và (2) => $\hat{C A M} = \hat{O D M}$ (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh ACMO là tứ giác nội tiếp
- Theo giả thiết, AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A, nên AC $⊥$ AB.
=> $\hat{C A O} = 90^{\circ}$ .
CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M, nên CD $⊥$ OM.
=> $\hat{C M O} = 90^{\circ} .$
- Xét tứ giác ACMO, ta có tổng hai góc đối:
$\hat{C A O} + \hat{C M O} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Vậy ACMO là tứ giác nội tiếp đường tròn (có đường kính là OC).

b) Chứng minh $P A \cdot P O = P C \cdot P M$
- Từ câu a, ta có A, C, M, O cùng nằm trên một đường tròn.
- Hai đường thẳng AO (cũng chính là đường thẳng AB) và đường thẳng CM (cũng chính là đường thẳng CD) cắt nhau tại P.
- Xét $∆$ PAM và $∆$ PCO, ta có:
Góc $\hat{P}$ chung.
$\hat{P M A} = \hat{P O C}$ (Đây là tính chất của tứ giác nội tiếp ACMO: góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Cụ thể, $\hat{P M A}$ kề bù với $\hat{A M C}$ , mà trong tứ giác nội tiếp ACMO thì $\hat{A O C}$ (hay $\hat{P O C}$ ) cũng bù với $\hat{A M C}$ ).
Do đó, $△ P A M ~ △ P C O$ (g-g).
- Từ tính chất hai tam giác đồng dạng, ta lập được tỉ số: $\frac{P A}{P C} = \frac{P M}{P O}$
=> $P A \cdot P O = P C \cdot P M$
(Lưu ý: Đây cũng chính là ứng dụng của định lý Phương tích của một điểm nằm ngoài đường tròn).

c) Chứng minh $\hat{C A M} = \hat{O D M}$
- Xét nửa đường tròn (O), góc CAM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung AM. Do đó:
$\hat{C A M}$ = $\frac{1}{2}$ số đo cung AM
- Góc $\hat{A B M}$ là góc nội tiếp chắn cung AM, nên:
$\hat{A B M} = \frac{1}{2}$ số đo cung AM
=> $\hat{C A M} = \hat{A B M}$ (1)
- Xét tứ giác BDMO, ta có:
$B D ⟂ A B$ => $\hat{D B O} = 90^{\circ}$ .
$C D ⟂ O M$ => $\hat{D M O} = 90^{\circ} .$
Vì: $\hat{D B O} + \hat{D M O} = 180^{\circ}$ => BDMO là tứ giác nội tiếp.
- Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDMO, hai góc $\hat{O D M}$ và $\hat{O B M}$ (chính là $\hat{A B M}$ ) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM.
=> $\hat{O D M}$ = $\hat{A B M}$ (2)
Từ (1) và (2) => $\hat{C A M} = \hat{O D M}$ (đpcm)

2 câu trả lời 92

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9