Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a)

Có BE $⊥$ AC (BE là đường cao của $△$ ABC)

=> $△$ AEB vuông tại E => 3 điểm A, B, E thuộc đường tròn đường kính AB

Có AD $⊥$ BC (AD là đường cao của $△$ ABC)

=> $△$ ABD vuông tại D => 3 điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính AB

=> 4 điểm A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Hay tứ giác AEDB nội tiếp

b)

*** Xét $△$ ABD và $△$ AKC có:

$\hat{A D B} = \hat{A C K} = 90 °$

$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Nên △ABD $~$ △AKC (g.g)

***

Có H là giao điềm của 2 đường cao AD và BE

=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> CH $⊥$ AB

Có: $\{\begin{cases} B H / / K C (⊥ A C) \\ H C / / B K (⊥ A B) \end{cases}$

=> HCKB là hình bình hành

Mà M là trung điểm BC

=> M là trung điểm HK

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a)

Có BE $⊥$ AC (BE là đường cao của $△$ ABC)

=> $△$ AEB vuông tại E => 3 điểm A, B, E thuộc đường tròn đường kính AB

Có AD $⊥$ BC (AD là đường cao của $△$ ABC)

=> $△$ ABD vuông tại D => 3 điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính AB

=> 4 điểm A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Hay tứ giác AEDB nội tiếp

b)

*** Xét $△$ ABD và $△$ AKC có:

$\hat{A D B} = \hat{A C K} = 90 °$

$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Nên △ABD $~$ △AKC (g.g)

***

Có H là giao điềm của 2 đường cao AD và BE

=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> CH $⊥$ AB

Có: $\{\begin{cases} B H / / K C (⊥ A C) \\ H C / / B K (⊥ A B) \end{cases}$

=> HCKB là hình bình hành

Mà M là trung điểm BC

=> M là trung điểm HK

Answer 3

a) Chứng minh tứ giác ABDEABDE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh:

Vì ADAD và BEBE là các đường cao, nên ta có:

AD⊥BCAD⊥BC tại DD
BE⊥ACBE⊥AC tại EE
Ta cần chứng minh các điểm A,B,D,EA,B,D,E cùng nằm trên 1 đường tròn, tức là tứ giác ABDEABDE nội tiếp.
Xét góc ∠ADE∠ADE và ∠ABE∠ABE:

∠ADE=90∘∠ADE=90∘ (vì AD⊥BCAD⊥BC)
∠ABE=90∘∠ABE=90∘ (vì BE⊥ACBE⊥AC)
Hai góc này cùng bằng 90∘90∘ và chắn cung AEAE.
Khi đó, bốn điểm A,B,D,EA,B,D,E thuộc một đường tròn có đường kính AEAE.
Kết luận: Tứ giác ABDEABDE là tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính AKAK và trung điểm MM của đoạn BCBC.
Chứng minh:

Tam giác ABDABD đồng dạng với tam giác AKCAKC.
Ta có AKAK là đường kính nên ∠AKC=90∘∠AKC=90∘ (góc nội tiếp chắn đường kính).
Góc ABDABD cũng là góc giữa tiếp tuyến, hoặc có thể dùng mối quan hệ góc giữa các đường cao để chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Chi tiết chứng minh đồng dạng:

Xét hai tam giác ABDABD và AKCAKC:∠BAD=∠KAC∠BAD=∠KAC (chung góc tại AA)
∠ABD=∠AKC=90∘∠ABD=∠AKC=90∘ (ghi chú ở trên)
Vậy theo tiêu chuẩn AA, △ABD∼△AKC△ABD∼△AKC.
Trung điểm MM của BCBC là trung điểm của đoạn HKHK.

Vì đồng dạng △ABD△ABD và △AKC△AKC nên tỉ lệ các đoạn tương ứng cho ta MM nằm trung điểm đoạn HKHK.

c) Gọi NN là hình chiếu của BB lên AKAK. Chứng minh E,N,ME,N,M thẳng hàng.
Chứng minh:

NN là hình chiếu của BB trên AKAK nên BN⊥AKBN⊥AK.
EE là ảnh của BB qua đường cao BE⊥ACBE⊥AC.
Dựa vào hình mẫu và các mối quan hệ đồng dạng ở câu (b), ta có ba điểm E,N,ME,N,M thẳng hàng do thuộc đường thẳng Simson ứng với điểm BB trong tam giác AKCAKC.
Hoặc bạn có thể chứng minh các tam giác nhỏ tạo bởi E,N,ME,N,M có các góc đồng dạng, hoặc dùng tính chất hình chiếu vuông góc và trung điểm để kết luận E,N,ME,N,M thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 4

a) Chứng minh tứ giác ABDEABDE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh:

Vì ADAD và BEBE là các đường cao, nên ta có:

AD⊥BCAD⊥BC tại DD
BE⊥ACBE⊥AC tại EE
Ta cần chứng minh các điểm A,B,D,EA,B,D,E cùng nằm trên 1 đường tròn, tức là tứ giác ABDEABDE nội tiếp.
Xét góc ∠ADE∠ADE và ∠ABE∠ABE:

∠ADE=90∘∠ADE=90∘ (vì AD⊥BCAD⊥BC)
∠ABE=90∘∠ABE=90∘ (vì BE⊥ACBE⊥AC)
Hai góc này cùng bằng 90∘90∘ và chắn cung AEAE.
Khi đó, bốn điểm A,B,D,EA,B,D,E thuộc một đường tròn có đường kính AEAE.
Kết luận: Tứ giác ABDEABDE là tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính AKAK và trung điểm MM của đoạn BCBC.
Chứng minh:

Tam giác ABDABD đồng dạng với tam giác AKCAKC.
Ta có AKAK là đường kính nên ∠AKC=90∘∠AKC=90∘ (góc nội tiếp chắn đường kính).
Góc ABDABD cũng là góc giữa tiếp tuyến, hoặc có thể dùng mối quan hệ góc giữa các đường cao để chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Chi tiết chứng minh đồng dạng:

Xét hai tam giác ABDABD và AKCAKC:∠BAD=∠KAC∠BAD=∠KAC (chung góc tại AA)
∠ABD=∠AKC=90∘∠ABD=∠AKC=90∘ (ghi chú ở trên)
Vậy theo tiêu chuẩn AA, △ABD∼△AKC△ABD∼△AKC.
Trung điểm MM của BCBC là trung điểm của đoạn HKHK.

Vì đồng dạng △ABD△ABD và △AKC△AKC nên tỉ lệ các đoạn tương ứng cho ta MM nằm trung điểm đoạn HKHK.

c) Gọi NN là hình chiếu của BB lên AKAK. Chứng minh E,N,ME,N,M thẳng hàng.
Chứng minh:

NN là hình chiếu của BB trên AKAK nên BN⊥AKBN⊥AK.
EE là ảnh của BB qua đường cao BE⊥ACBE⊥AC.
Dựa vào hình mẫu và các mối quan hệ đồng dạng ở câu (b), ta có ba điểm E,N,ME,N,M thẳng hàng do thuộc đường thẳng Simson ứng với điểm BB trong tam giác AKCAKC.
Hoặc bạn có thể chứng minh các tam giác nhỏ tạo bởi E,N,ME,N,M có các góc đồng dạng, hoặc dùng tính chất hình chiếu vuông góc và trung điểm để kết luận E,N,ME,N,M thẳng hàng.

2 câu trả lời 263

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9