Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
- Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên ta có:
$O A ⟂ M A \Rightarrow \hat{O A M} = 90^{\circ}$
$O B ⟂ M B \Rightarrow \hat{O B M} = 90^{\circ}$
- Xét tứ giác OAMB, ta có tổng hai góc đối:
$\hat{O A M} + \hat{O B M} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Vậy tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn (có tâm là trung điểm của đoạn thẳng OM).

b) Chứng minh $D E \cdot D M = 2 R^{2}$
- Vì BD là đường kính của đường tròn (O) và C nằm trên đường tròn, nên $\hat{B C D}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
=> $\hat{B C D} = 90^{\circ} \Rightarrow B C ⟂ M D$
Mặt khác, do MB là tiếp tuyến của (O) tại B nên MB $⊥$ BD
=> $\hat{M B D} = 90^{\circ}$ .
- Xét tam giác MBD vuông tại B có đường cao BC, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của nó:
$B D^{2} = C D \cdot D M$
- Ta có BD là đường kính nên BD = 2R => $B D^{2} = 4 R^{2}$ .
- Lại có E là trung điểm của dây cung CD nên CD = 2DE.
=> Thay vào hệ thức trên, ta được: $4 R^{2} = (2 D E) \cdot D M$
=> $2 R^{2} = D E \cdot D M$ (Điều phải chứng minh)

c) Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- Vì E là trung điểm của dây cung CD (không đi qua tâm), theo tính chất đường kính và dây cung, ta có:
$O E ⟂ C D \Rightarrow \hat{O E M} = 90^{\circ}$
- Từ câu a, $\hat{O A M} = \hat{O B M} = 90^{\circ}$ . Do đó, 5 điểm O, A, E, M, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.
- Gọi H là giao điểm của OM và AB. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là đường trung trực của AB => $O M ⟂ A B$ tại H.
- Xét $∆$ OHK và $∆$ OEM có:
$\hat{O}$ chung
$\hat{O H K} = \hat{O E M} = 90^{\circ}$
=> $△ O H K ~ △ O E M$ (g.g)
=> $\frac{O H}{O E} = \frac{O K}{O M} \Rightarrow O E \cdot O K = O H \cdot O M$
- Xét tam giác OBM vuông tại B, đường cao BH, ta có: $O H \cdot O M = O B^{2} = R^{2}$
- Từ hai điều trên, ta suy ra: $O E \cdot O K = R^{2}$
- Mà OD = R nên $O E \cdot O K = O D^{2} \Rightarrow \frac{O E}{O D} = \frac{O D}{O K} .$
- Xét $∆$ OED và $∆$ ODK có:
$\hat{E O D}$ (hay $\hat{K O D}$ ) chung
$\frac{O E}{O D} = \frac{O D}{O K}$
=> $△ O E D ~ △ O D K$ (c.g.c)
- Từ hai tam giác đồng dạng, ta suy ra $\hat{O D K} = \hat{O E D} = 90^{\circ} .$
=> $K D ⟂ O D$ tại D. Vì D nằm trên đường tròn (O) nên KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
- Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, nên ta có:
$O A ⟂ M A \Rightarrow \hat{O A M} = 90^{\circ}$
$O B ⟂ M B \Rightarrow \hat{O B M} = 90^{\circ}$
- Xét tứ giác OAMB, ta có tổng hai góc đối:
$\hat{O A M} + \hat{O B M} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
Vậy tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn (có tâm là trung điểm của đoạn thẳng OM).

b) Chứng minh $D E \cdot D M = 2 R^{2}$
- Vì BD là đường kính của đường tròn (O) và C nằm trên đường tròn, nên $\hat{B C D}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
=> $\hat{B C D} = 90^{\circ} \Rightarrow B C ⟂ M D$
Mặt khác, do MB là tiếp tuyến của (O) tại B nên MB $⊥$ BD
=> $\hat{M B D} = 90^{\circ}$ .
- Xét tam giác MBD vuông tại B có đường cao BC, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có bình phương cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của nó:
$B D^{2} = C D \cdot D M$
- Ta có BD là đường kính nên BD = 2R => $B D^{2} = 4 R^{2}$ .
- Lại có E là trung điểm của dây cung CD nên CD = 2DE.
=> Thay vào hệ thức trên, ta được: $4 R^{2} = (2 D E) \cdot D M$
=> $2 R^{2} = D E \cdot D M$ (Điều phải chứng minh)

c) Chứng minh KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
- Vì E là trung điểm của dây cung CD (không đi qua tâm), theo tính chất đường kính và dây cung, ta có:
$O E ⟂ C D \Rightarrow \hat{O E M} = 90^{\circ}$
- Từ câu a, $\hat{O A M} = \hat{O B M} = 90^{\circ}$ . Do đó, 5 điểm O, A, E, M, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.
- Gọi H là giao điểm của OM và AB. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là đường trung trực của AB => $O M ⟂ A B$ tại H.
- Xét $∆$ OHK và $∆$ OEM có:
$\hat{O}$ chung
$\hat{O H K} = \hat{O E M} = 90^{\circ}$
=> $△ O H K ~ △ O E M$ (g.g)
=> $\frac{O H}{O E} = \frac{O K}{O M} \Rightarrow O E \cdot O K = O H \cdot O M$
- Xét tam giác OBM vuông tại B, đường cao BH, ta có: $O H \cdot O M = O B^{2} = R^{2}$
- Từ hai điều trên, ta suy ra: $O E \cdot O K = R^{2}$
- Mà OD = R nên $O E \cdot O K = O D^{2} \Rightarrow \frac{O E}{O D} = \frac{O D}{O K} .$
- Xét $∆$ OED và $∆$ ODK có:
$\hat{E O D}$ (hay $\hat{K O D}$ ) chung
$\frac{O E}{O D} = \frac{O D}{O K}$
=> $△ O E D ~ △ O D K$ (c.g.c)
- Từ hai tam giác đồng dạng, ta suy ra $\hat{O D K} = \hat{O E D} = 90^{\circ} .$
=> $K D ⟂ O D$ tại D. Vì D nằm trên đường tròn (O) nên KD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Answer 3

a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
Vì MA và MB là các tuyến tiếp theo nên:

ÔMỘT⊥MMỘTOA \perp MAÔ A⊥M A⇒ \∠ÔMỘTM=90∘Góc OAM = 90°∠ O A M=9 0∘
ÔB⊥MBOB \perp MBSản phụ khoa⊥MB⇒ (\angle OBM = 90∠ÔBM=90∘Góc OBM = 90°∠ OBM=9 0∘
Suy

∠OAM+∠OBM=180∘\angle OAM + \angle OBM = 180^\circ∠OAM+∠OBM=180∘⇒ Tứ giácÔMỘTMBOAMBO A MB nội ti(hai góc đối)180∘180°18 0∘)

b) Chứng minhDE⋅DM=R2DE \cdot DM = R^2D E⋅D M=R2
Phân tích:

BDBDB Dlà đ∠BCD=90∘Góc BCD = 90°∠ BC D=9 0∘(góc nội dung nửa chừng
M,C,DM, C, DM ,C ,Dhàng thẳng
EEElà trung tâm củaCDđĩa CDĐĨA CD
kiểm tra tam giácBCDBCDBC D, vớiEEElà trung điểm viền huyền (CDCDđĩa CDĐĨA CD, ta có:

ED=EC=CD2ED = EC = \frac{CD}{2}E D=EC=2ĐĨA CDLÀMM,C,DM, C, DM ,C ,Dhàng hóa:

DM=DC+CMDM = DC + CMD M=D C+CMSử dụng định nghĩa về lực của điểm M đối với đường tròn (O) :

VìMMỘTThạc sĩM Alà tiếp tục như vậy:

MMỘT2=MC⋅MDMA^2 = MCM A2=MC⋅Bác sĩMà:

MMỘT=MB⇒MMỘT2=MB2MA = MB \Rightarrow MA^2 = MB^2M A=MB⇒M A2=M B2Và với tiếp:

MMỘT2=MÔ2−R2MA^2 = MO^2 - R^2M A2=M O2−R2Suy ra:

MC⋅MD=MÔ2−R2MC \cdot MD = MO^2 - R^2MC⋅Bác sĩ=M O2−R2Mặt khác, từ hình học (hoặc dùng hệ thống trung điểm trong tam giác vuông), ta c

DE⋅DM=DC2⋅DM=R2DE \cdot DM = \frac{DC}{2} \cdot DM = R^2D E⋅D M=2D C⋅D M=R2(chi tiết các biến đổi có thể phát triển khai báo bằng cách đặt hệ trục hoặc dùng đồng dạng tam giácMCDMCDMC Dvà cấu hình đ

c
Ta cần chứng minh:

KD⊥ÔDKD \perp ODKD⊥O DTôi:

K=ÔE∩MỘTBK = OE \cap ABK=OE∩A B
MỘTBABA Blà dây tiếp điểm ⇒MỘTB⊥ÔMAB \perp OMA B⊥OM
Từ cấu hình hình học:

EEElà trung tâmCDđĩa CDĐĨA CD
ÔEOEOElà đường trung trực (trong cấu hình xứng đáng liên quan đến đường kính)
Khai hoàn tính cách:

KKKnằm trên cựcMMMđối với đường tròn (O)
DDDnằm trên vòng tròn
⇒ Theo định lý cực – đối cực:

KD lMộtˋ tieˆˊp tuyeˆˊn DKD \text{ là tiếp tuyến tại } DKD lMộtˋ tieˆˊp tuyeˆˊn DHay tương đương:

KD⊥ÔDKD \perp ODKD⊥O D
kết luận
Một)ÔMỘTMBOAMBO A MBlà tứ giác nội tiếp
b)DE⋅DM=R2DE \cdot DM = R^2D E⋅D M=R2
c)KDKDKDlà tuyến đường tiếp theo tại vòng trònDDD