Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
- Xét tứ giác BCEF, ta có:
$\hat{B E C} = 90^{\circ}$ (do BE $⊥$ AC)
$\hat{B F C} = 90^{\circ}$ (do CF $⊥$ AB)
Hai đỉnh E và F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông (90 $°$ ).
=> Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh KQ // EF và OA $⊥$ EF
1. Chứng minh KQ // EF (Dùng góc đồng vị):
- Vì tứ giác BCEF nội tiếp (chứng minh trên), ta có $\hat{C F E} = \hat{C B E}$ (cùng chắn cung CE).
- Xét trong đường tròn (O), tứ giác BCQK nội tiếp nên $\hat{C K Q} = \hat{C B Q}$ (cùng chắn cung CQ).
Lại có B, E, Q thẳng hàng nên $\hat{C B E}$ chính là $\hat{C B Q}$ .
=> $\hat{C F E} = \hat{C K Q} .$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị (do C, F, K thẳng hàng), suy ra KQ // EF.
2. Chứng minh OA $⊥$ EF (Kẻ thêm tiếp tuyến):
- Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại A. Ta có OA $⊥$ Ax.
- Xét đường tròn (O), $\hat{x A C} = \hat{A B C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
- Xét tứ giác nội tiếp BCEF, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện: $\hat{A F E}$ = $\hat{A B C}$
=> $\hat{x A C}$ = $\hat{A F E}$ . Mà hai góc này ở vị trí so le trong, nên Ax // EF.
Vì OA $⊥$ Ax và Ax // EF, ta suy ra OA $⊥$ EF.
c) Chứng minh $\frac{1}{A M} + \frac{1}{A D} = \frac{2}{A H}$
- Xét $△ A E F$ và $△ A B C$ , ta có:
Góc $\hat{A}$ chung.
$\hat{A F E} = \hat{A B C}$ (chứng minh ở câu b).
=> $△ A E F ~ △ A B C$ (g.g)
=> $\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = {(\frac{E F}{B C})}^{2}$ (1)
- Xét $△ H E F$ và $△ H C B$ :
$\hat{E H F} = \hat{B H C}$ (đối đỉnh).
- Xét $∆$ HFB và $∆$ HEC có $\hat{F H B} = \hat{E H C}$ (đối đỉnh) và $\hat{H F B}$ = $\hat{H E C}$ = 90 $°$
=> $△ H F B ~ △ H E C \Rightarrow \frac{H F}{H E} = \frac{H B}{H C} \Rightarrow \frac{H F}{H B} = \frac{H E}{H C}$ .
- Từ hai điều trên => $△ H E F ~ △ H C B$ (c.g.c).
=> $\frac{S_{H E F}}{S_{H C B}} = {(\frac{E F}{C B})}^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = \frac{S_{H E F}}{S_{H C B}} \Rightarrow \frac{S_{H E F}}{S_{A E F}} = \frac{S_{H C B}}{S_{A B C}}$ (1)
- Hai tam giác $△ H E F$ và $△ A E F$ có chung đáy EF, A, M, H thẳng hàng và cắt đáy tại M. Theo tính chất diện tích chung đáy: $\frac{S_{H E F}}{S_{A E F}} = \frac{H M}{A M}$
- Tương tự, hai tam giác $∆$ HCB và $∆$ ABC có chung đáy BC, đường cao chung nằm trên đường thẳng AD.
=> $\frac{S_{H C B}}{S_{A B C}} = \frac{H D}{A D}$
Thay vào hệ thức (1) => $\frac{H M}{A M} = \frac{H D}{A D}$
Ta thấy HM = AH - AM và HD = AD - AH.
=> $\frac{A H - A M}{A M} = \frac{A D - A H}{A D}$
$\Leftrightarrow \frac{A H}{A M} - 1 = 1 - \frac{A H}{A D}$
$\Leftrightarrow \frac{A H}{A M} + \frac{A H}{A D} = 2$
=> Chia cả hai vế cho AH, ta được: $\frac{1}{A M} + \frac{1}{A D} = \frac{2}{A H}$ (Điều phải chứng minh)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
- Xét tứ giác BCEF, ta có:
$\hat{B E C} = 90^{\circ}$ (do BE $⊥$ AC)
$\hat{B F C} = 90^{\circ}$ (do CF $⊥$ AB)
Hai đỉnh E và F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông (90 $°$ ).
=> Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) Chứng minh KQ // EF và OA $⊥$ EF
1. Chứng minh KQ // EF (Dùng góc đồng vị):
- Vì tứ giác BCEF nội tiếp (chứng minh trên), ta có $\hat{C F E} = \hat{C B E}$ (cùng chắn cung CE).
- Xét trong đường tròn (O), tứ giác BCQK nội tiếp nên $\hat{C K Q} = \hat{C B Q}$ (cùng chắn cung CQ).
Lại có B, E, Q thẳng hàng nên $\hat{C B E}$ chính là $\hat{C B Q}$ .
=> $\hat{C F E} = \hat{C K Q} .$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị (do C, F, K thẳng hàng), suy ra KQ // EF.
2. Chứng minh OA $⊥$ EF (Kẻ thêm tiếp tuyến):
- Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại A. Ta có OA $⊥$ Ax.
- Xét đường tròn (O), $\hat{x A C} = \hat{A B C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
- Xét tứ giác nội tiếp BCEF, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện: $\hat{A F E}$ = $\hat{A B C}$
=> $\hat{x A C}$ = $\hat{A F E}$ . Mà hai góc này ở vị trí so le trong, nên Ax // EF.
Vì OA $⊥$ Ax và Ax // EF, ta suy ra OA $⊥$ EF.
c) Chứng minh $\frac{1}{A M} + \frac{1}{A D} = \frac{2}{A H}$
- Xét $△ A E F$ và $△ A B C$ , ta có:
Góc $\hat{A}$ chung.
$\hat{A F E} = \hat{A B C}$ (chứng minh ở câu b).
=> $△ A E F ~ △ A B C$ (g.g)
=> $\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = {(\frac{E F}{B C})}^{2}$ (1)
- Xét $△ H E F$ và $△ H C B$ :
$\hat{E H F} = \hat{B H C}$ (đối đỉnh).
- Xét $∆$ HFB và $∆$ HEC có $\hat{F H B} = \hat{E H C}$ (đối đỉnh) và $\hat{H F B}$ = $\hat{H E C}$ = 90 $°$
=> $△ H F B ~ △ H E C \Rightarrow \frac{H F}{H E} = \frac{H B}{H C} \Rightarrow \frac{H F}{H B} = \frac{H E}{H C}$ .
- Từ hai điều trên => $△ H E F ~ △ H C B$ (c.g.c).
=> $\frac{S_{H E F}}{S_{H C B}} = {(\frac{E F}{C B})}^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = \frac{S_{H E F}}{S_{H C B}} \Rightarrow \frac{S_{H E F}}{S_{A E F}} = \frac{S_{H C B}}{S_{A B C}}$ (1)
- Hai tam giác $△ H E F$ và $△ A E F$ có chung đáy EF, A, M, H thẳng hàng và cắt đáy tại M. Theo tính chất diện tích chung đáy: $\frac{S_{H E F}}{S_{A E F}} = \frac{H M}{A M}$
- Tương tự, hai tam giác $∆$ HCB và $∆$ ABC có chung đáy BC, đường cao chung nằm trên đường thẳng AD.
=> $\frac{S_{H C B}}{S_{A B C}} = \frac{H D}{A D}$
Thay vào hệ thức (1) => $\frac{H M}{A M} = \frac{H D}{A D}$
Ta thấy HM = AH - AM và HD = AD - AH.
=> $\frac{A H - A M}{A M} = \frac{A D - A H}{A D}$
$\Leftrightarrow \frac{A H}{A M} - 1 = 1 - \frac{A H}{A D}$
$\Leftrightarrow \frac{A H}{A M} + \frac{A H}{A D} = 2$
=> Chia cả hai vế cho AH, ta được: $\frac{1}{A M} + \frac{1}{A D} = \frac{2}{A H}$ (Điều phải chứng minh)

1 câu trả lời 150

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9