Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a)

Gọi I là trung điểm EF

Xét $△$ AFH có $\hat{A F H} = 90 °$

=> Tam giác AFH có FI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> FI = IA = IH = $\frac{A H}{2}$ (1)

Xét $△$ AEH có $\hat{A E H} = 90 °$

=> Tam giác AEH có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> AI = EI = HI = $\frac{A H}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) => IH = AI = EI = FI

=> 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tron (I, IA)

Hay tứ giác AEHF nội tiếp

b)

Xét $△$ AFC $~ △$ AEB (g.g) => $\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B}$ => AF.AB = AC.AE

Xét $△$ CHE $~ △$ CAF (g.g) => $\frac{C H}{C A} = \frac{C E}{C F}$ => CH.CF = CA.CE

=> AF.AB + CH.CF = AC.AE + AC.CE = AC.(AE + EC) = AC.AC = AC²

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a)

Gọi I là trung điểm EF

Xét $△$ AFH có $\hat{A F H} = 90 °$

=> Tam giác AFH có FI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> FI = IA = IH = $\frac{A H}{2}$ (1)

Xét $△$ AEH có $\hat{A E H} = 90 °$

=> Tam giác AEH có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> AI = EI = HI = $\frac{A H}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) => IH = AI = EI = FI

=> 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tron (I, IA)

Hay tứ giác AEHF nội tiếp

b)

Xét $△$ AFC $~ △$ AEB (g.g) => $\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B}$ => AF.AB = AC.AE

Xét $△$ CHE $~ △$ CAF (g.g) => $\frac{C H}{C A} = \frac{C E}{C F}$ => CH.CF = CA.CE

=> AF.AB + CH.CF = AC.AE + AC.CE = AC.(AE + EC) = AC.AC = AC²

Answer 3

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp

Xét tam giác $ABC$ có hai đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

$BE \perp AC \Rightarrow \widehat{AEH} = 90^\circ$
$CF \perp AB \Rightarrow \widehat{AFH} = 90^\circ$
Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ (đpcm).

b) Chứng minh $AC^2 = AF \cdot AB + CH \cdot CF$

Xét $\triangle AFC$ và $\triangle AEB$ có:

$\widehat{A}$ chung
$\widehat{AFC} = \widehat{AEB} = 90^\circ$
$\Rightarrow \triangle AFC \sim \triangle AEB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AE} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AF \cdot AB = AE \cdot AC$ (1)
Xét $\triangle CEH$ và $\triangle CFA$ có:

$\widehat{C}$ chung
$\widehat{CEH} = \widehat{CFA} = 90^\circ$
$\Rightarrow \triangle CEH \sim \triangle CFA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{CH}{CA} = \frac{CE}{CF} \Rightarrow CH \cdot CF = CE \cdot AC$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$AF \cdot AB + CH \cdot CF = AE \cdot AC + CE \cdot AC$
$= AC \cdot (AE + CE) = AC \cdot AC = AC^2$
Vậy $AC^2 = AF \cdot AB + CH \cdot CF$ (đpcm).

c) Chứng minh $M, H, G$ thẳng hàng

Gọi $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, suy ra $AK$ là đường kính của $(O)$.

Ta có $\widehat{ABK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BK \perp AB$.
Mà $CH \perp AB \Rightarrow CH \parallel BK$.
Tương tự $\widehat{ACK} = 90^\circ \Rightarrow CK \perp AC$.
Mà $BH \perp AC \Rightarrow BH \parallel CK$.
Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song).
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm $HK$, suy ra $H, M, K$ thẳng hàng.
Mặt khác, tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$. Gọi đường tròn này là $(O')$.
$(O')$ và $(O)$ cắt nhau tại $A$ và $G$.

$\Rightarrow AG$ là dây cung chung của hai đường tròn.
$\widehat{AGK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính $AK$ của $(O)$).
$\widehat{AGH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính $AH$ của $(O')$).
Từ đó suy ra $H, G, K$ thẳng hàng.
Mà $H, M, K$ đã thẳng hàng (cmt).
Vậy ba điểm $M, H, G$ thẳng hàng (đpcm).

...Xem thêm

Answer 4

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp

Xét tam giác $ABC$ có hai đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

$BE \perp AC \Rightarrow \widehat{AEH} = 90^\circ$
$CF \perp AB \Rightarrow \widehat{AFH} = 90^\circ$
Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ (đpcm).

b) Chứng minh $AC^2 = AF \cdot AB + CH \cdot CF$

Xét $\triangle AFC$ và $\triangle AEB$ có:

$\widehat{A}$ chung
$\widehat{AFC} = \widehat{AEB} = 90^\circ$
$\Rightarrow \triangle AFC \sim \triangle AEB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AE} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AF \cdot AB = AE \cdot AC$ (1)
Xét $\triangle CEH$ và $\triangle CFA$ có:

$\widehat{C}$ chung
$\widehat{CEH} = \widehat{CFA} = 90^\circ$
$\Rightarrow \triangle CEH \sim \triangle CFA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{CH}{CA} = \frac{CE}{CF} \Rightarrow CH \cdot CF = CE \cdot AC$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$AF \cdot AB + CH \cdot CF = AE \cdot AC + CE \cdot AC$
$= AC \cdot (AE + CE) = AC \cdot AC = AC^2$
Vậy $AC^2 = AF \cdot AB + CH \cdot CF$ (đpcm).

c) Chứng minh $M, H, G$ thẳng hàng

Gọi $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, suy ra $AK$ là đường kính của $(O)$.

Ta có $\widehat{ABK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BK \perp AB$.
Mà $CH \perp AB \Rightarrow CH \parallel BK$.
Tương tự $\widehat{ACK} = 90^\circ \Rightarrow CK \perp AC$.
Mà $BH \perp AC \Rightarrow BH \parallel CK$.
Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song).
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm $HK$, suy ra $H, M, K$ thẳng hàng.
Mặt khác, tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$. Gọi đường tròn này là $(O')$.
$(O')$ và $(O)$ cắt nhau tại $A$ và $G$.

$\Rightarrow AG$ là dây cung chung của hai đường tròn.
$\widehat{AGK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính $AK$ của $(O)$).
$\widehat{AGH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính $AH$ của $(O')$).
Từ đó suy ra $H, G, K$ thẳng hàng.
Mà $H, M, K$ đã thẳng hàng (cmt).
Vậy ba điểm $M, H, G$ thẳng hàng (đpcm).

2 câu trả lời 209

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9