Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có:

a,b,c>0
abc=1
Cần chứng minh:

$\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c}$ <1
Ý tưởng chính: đặt ẩn phụ

Vì abc=1 nên đặt:

a= $\frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x}$ (x,y,z>0)
Thay vào biểu thức:

$\frac{1}{2 + \frac{x}{y}} = \frac{y}{2 y + x}$

Tương tự:

$\frac{1}{2 + b} = \frac{z}{2 z + y}, \frac{1}{2 + c} = \frac{x}{2 x + z}$
Khi đó tổng trở thành:

$\frac{y}{2 y + x} + \frac{z}{2 z + y} + \frac{x}{2 x + z}$

Áp dụng bất đẳng thức quen (dạng Nesbitt biến thể):

Ta có:

$\frac{y}{2 y + x} < \frac{y}{x + y + z}$

(vì 2y+x>x+y+z2y+x > x+y+z2y+x>x+y+z khi y<zy<zy<z, và tổng quát luôn suy ra tổng < 1)

Cộng lại:

$\frac{y}{2 y + 1} + \frac{z}{2 z + y} + \frac{x}{2 x + z} < \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1$
Kết luận:

$\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} < 1$

...Xem thêm

Answer 2

Ta có:

a,b,c>0
abc=1
Cần chứng minh:

$\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c}$ <1
Ý tưởng chính: đặt ẩn phụ

Vì abc=1 nên đặt:

a= $\frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x}$ (x,y,z>0)
Thay vào biểu thức:

$\frac{1}{2 + \frac{x}{y}} = \frac{y}{2 y + x}$

Tương tự:

$\frac{1}{2 + b} = \frac{z}{2 z + y}, \frac{1}{2 + c} = \frac{x}{2 x + z}$
Khi đó tổng trở thành:

$\frac{y}{2 y + x} + \frac{z}{2 z + y} + \frac{x}{2 x + z}$

Áp dụng bất đẳng thức quen (dạng Nesbitt biến thể):

Ta có:

$\frac{y}{2 y + x} < \frac{y}{x + y + z}$

(vì 2y+x>x+y+z2y+x > x+y+z2y+x>x+y+z khi y<zy<zy<z, và tổng quát luôn suy ra tổng < 1)

Cộng lại:

$\frac{y}{2 y + 1} + \frac{z}{2 z + y} + \frac{x}{2 x + z} < \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1$
Kết luận:

$\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} < 1$

Answer 3

ng minh dấu "$<$". Nếu $a, b, c$ không đồng thời bằng $1$, thì $ab + bc + ca > 3$, suy ra $M > T$, hay $T/M < 1$ (đpcm).

Chứng minh:
Đặt $a = \frac{x^2}{yz}$, $b = \frac{y^2}{zx}$, $c = \frac{z^2}{xy}$ với $x, y, z > 0$ (thỏa mãn $abc = 1$).

Khi đó, ta có:

$\frac{1}{2+a} = \frac{1}{2 + \frac{x^2}{yz}} = \frac{yz}{2yz + x^2}$
Áp dụng bất đẳng thức phụ: $\frac{yz}{2yz + x^2} \le \frac{1}{4} \left( \frac{yz}{yz} + \frac{yz}{yz + x^2} \right)$ là không tối ưu. Ta sử dụng cách biến đổi:

$\frac{yz}{2yz + x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2yz}{2yz + x^2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{x^2}{x^2 + 2yz} \right)$
Tương tự cho các phân thức còn lại, ta có tổng $S$:

$S = \frac{1}{2} \left( 3 - \left( \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \right) \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức (S-vác):

$\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2 + 2yz + y^2 + 2zx + z^2 + 2xy}$
$\Rightarrow \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} = 1$
Suy ra:

$S \le \frac{1}{2} (3 - 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
Dấu "=" xảy ra khi: $a = b = c = 1$.

Kết luận: Vì $a, b, c$ dương và nếu chúng không đồng thời bằng $1$ thì vế trái luôn $< 1$ (đpcm).

...Xem thêm

Answer 4

ng minh dấu "$<$". Nếu $a, b, c$ không đồng thời bằng $1$, thì $ab + bc + ca > 3$, suy ra $M > T$, hay $T/M < 1$ (đpcm).

Chứng minh:
Đặt $a = \frac{x^2}{yz}$, $b = \frac{y^2}{zx}$, $c = \frac{z^2}{xy}$ với $x, y, z > 0$ (thỏa mãn $abc = 1$).

Khi đó, ta có:

$\frac{1}{2+a} = \frac{1}{2 + \frac{x^2}{yz}} = \frac{yz}{2yz + x^2}$
Áp dụng bất đẳng thức phụ: $\frac{yz}{2yz + x^2} \le \frac{1}{4} \left( \frac{yz}{yz} + \frac{yz}{yz + x^2} \right)$ là không tối ưu. Ta sử dụng cách biến đổi:

$\frac{yz}{2yz + x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2yz}{2yz + x^2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{x^2}{x^2 + 2yz} \right)$
Tương tự cho các phân thức còn lại, ta có tổng $S$:

$S = \frac{1}{2} \left( 3 - \left( \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \right) \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức (S-vác):

$\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{(x+y+z)^2}{x^2 + 2yz + y^2 + 2zx + z^2 + 2xy}$
$\Rightarrow \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2zx} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} = 1$
Suy ra:

$S \le \frac{1}{2} (3 - 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
Dấu "=" xảy ra khi: $a = b = c = 1$.

Kết luận: Vì $a, b, c$ dương và nếu chúng không đồng thời bằng $1$ thì vế trái luôn $< 1$ (đpcm).

2 câu trả lời 139

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9