Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

1: Chứng minh IE là tia phân giác của $\hat{A E B}$
- Ta có $\hat{A E B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).
AB $⊥$ CD tại O => Cung CB có số đo bằng 90 $°$ .
$\hat{C E B}$ là góc nội tiếp chắn cung CB => $\hat{C E B} = \frac{1}{2} s ố đ o c u n g C B = 45^{\circ} .$
- Vì C, I, E thẳng hàng (do tia CI cắt đường tròn tại E) nên $\hat{I E B} = \hat{C E B} = 45^{\circ} .$
- Tia EI nằm giữa hai tia EA và EB, do đó:
$\hat{A E I} = \hat{A E B} - \hat{I E B} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$
- Vì $\hat{A E I} = \hat{I E B} = 45^{\circ}$
=> IE là tia phân giác của $\hat{A E B}$ . (đpcm)

2: Chứng minh $\frac{O A}{O H} = \frac{E A}{E B} = 3$
- Xét $Δ A E B$ , vì EI là đường phân giác của góc E, theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{E A}{E B} = \frac{I A}{I B}$
- Theo giả thiết, I là trung điểm của OB => IB = $\frac{R}{2} .$
- Đoạn IA = OA + OI = R + $\frac{R}{2} = \frac{3 R}{2} .$
=> Thay vào tỉ số trên: $\frac{E A}{E B} = \frac{\frac{3 R}{2}}{\frac{R}{2}} = 3$
=> $\frac{E A}{E B} = 3$ (1).
- Kẻ đường cao EK $⊥$ AB$ tại K.
- Xét $Δ A E B$ vuông tại E, có đường cao EK. Áp dụng hệ thức lượng, ta có:
$E A^{2} = A K \cdot A B v Ã {}^{2}= B K \cdot A B$
=> Lập tỉ số hai cạnh này:
$\frac{A K}{B K} = \frac{E A^{2}}{E B^{2}} = {(\frac{E A}{E B})}^{2} = 3^{2} = 9$
=> AK = 9BK.
Mà AK + BK = AB = 2R => 9BK + BK = 2R => 10BK = 2R => BK = $\frac{R}{5} .$
- Từ đó tính được AK: $A K = 2 R - \frac{R}{5} = \frac{9 R}{5}$
- Áp dụng hệ thức lượng $E K^{2} = A K \cdot B K$ : $E K^{2} = \frac{9 R}{5} \cdot \frac{R}{5} = \frac{9 R^{2}}{25} \Rightarrow E K = \frac{3 R}{5}$
- Nhìn vào hình, ta thấy CD $⊥$ AB tại O => OH $⊥$ AB.
Mà EK $⊥$ AB (cách vẽ).
=> OH // EK (cùng vuông góc với AB).
- Xét $∆$ AKE có OH // EK, áp dụng hệ quả của Định lý Thales, ta có: $\frac{O H}{E K} = \frac{A O}{A K}$
- Thay các giá trị đã biết (AO = R, EK = $\frac{3 R}{5}$ , $A K = \frac{9 R}{5}$ ) vào:
$O H = E K \cdot \frac{A O}{A K} = \frac{3 R}{5} \cdot \frac{R}{\frac{9 R}{5}} = \frac{3 R}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{R}{3}$ $$
=> $\frac{O A}{O H}$ : $\frac{O A}{O H} = \frac{R}{\frac{R}{3}} = 3$
=> Ta được vế thứ hai: $\frac{O A}{O H} = 3$ (2).
Từ (1) và (2) => $\frac{O A}{O H} = \frac{E A}{E B} = 3$ (Điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

1: Chứng minh IE là tia phân giác của $\hat{A E B}$
- Ta có $\hat{A E B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).
AB $⊥$ CD tại O => Cung CB có số đo bằng 90 $°$ .
$\hat{C E B}$ là góc nội tiếp chắn cung CB => $\hat{C E B} = \frac{1}{2} s ố đ o c u n g C B = 45^{\circ} .$
- Vì C, I, E thẳng hàng (do tia CI cắt đường tròn tại E) nên $\hat{I E B} = \hat{C E B} = 45^{\circ} .$
- Tia EI nằm giữa hai tia EA và EB, do đó:
$\hat{A E I} = \hat{A E B} - \hat{I E B} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$
- Vì $\hat{A E I} = \hat{I E B} = 45^{\circ}$
=> IE là tia phân giác của $\hat{A E B}$ . (đpcm)

2: Chứng minh $\frac{O A}{O H} = \frac{E A}{E B} = 3$
- Xét $Δ A E B$ , vì EI là đường phân giác của góc E, theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{E A}{E B} = \frac{I A}{I B}$
- Theo giả thiết, I là trung điểm của OB => IB = $\frac{R}{2} .$
- Đoạn IA = OA + OI = R + $\frac{R}{2} = \frac{3 R}{2} .$
=> Thay vào tỉ số trên: $\frac{E A}{E B} = \frac{\frac{3 R}{2}}{\frac{R}{2}} = 3$
=> $\frac{E A}{E B} = 3$ (1).
- Kẻ đường cao EK $⊥$ AB$ tại K.
- Xét $Δ A E B$ vuông tại E, có đường cao EK. Áp dụng hệ thức lượng, ta có:
$E A^{2} = A K \cdot A B v Ã {}^{2}= B K \cdot A B$
=> Lập tỉ số hai cạnh này:
$\frac{A K}{B K} = \frac{E A^{2}}{E B^{2}} = {(\frac{E A}{E B})}^{2} = 3^{2} = 9$
=> AK = 9BK.
Mà AK + BK = AB = 2R => 9BK + BK = 2R => 10BK = 2R => BK = $\frac{R}{5} .$
- Từ đó tính được AK: $A K = 2 R - \frac{R}{5} = \frac{9 R}{5}$
- Áp dụng hệ thức lượng $E K^{2} = A K \cdot B K$ : $E K^{2} = \frac{9 R}{5} \cdot \frac{R}{5} = \frac{9 R^{2}}{25} \Rightarrow E K = \frac{3 R}{5}$
- Nhìn vào hình, ta thấy CD $⊥$ AB tại O => OH $⊥$ AB.
Mà EK $⊥$ AB (cách vẽ).
=> OH // EK (cùng vuông góc với AB).
- Xét $∆$ AKE có OH // EK, áp dụng hệ quả của Định lý Thales, ta có: $\frac{O H}{E K} = \frac{A O}{A K}$
- Thay các giá trị đã biết (AO = R, EK = $\frac{3 R}{5}$ , $A K = \frac{9 R}{5}$ ) vào:
$O H = E K \cdot \frac{A O}{A K} = \frac{3 R}{5} \cdot \frac{R}{\frac{9 R}{5}} = \frac{3 R}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{R}{3}$ $$
=> $\frac{O A}{O H}$ : $\frac{O A}{O H} = \frac{R}{\frac{R}{3}} = 3$
=> Ta được vế thứ hai: $\frac{O A}{O H} = 3$ (2).
Từ (1) và (2) => $\frac{O A}{O H} = \frac{E A}{E B} = 3$ (Điều phải chứng minh).

1 câu trả lời 171

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9