a) Chứng minh tứ giác $BEDC$ nội tiếp và $\Delta ABC \sim \Delta ADE$
Chứng minh tứ giác $BEDC$ nội tiếp:

Xét tứ giác $BEDC$, ta có:

$\angle BDC = 90^\circ$ (do $BD$ là đường cao).
$\angle BEC = 90^\circ$ (do $CE$ là đường cao).

Hai đỉnh $D$ và $E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^\circ$, suy ra tứ giác $BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.
Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta ADE$:

Vì tứ giác $BEDC$ nội tiếp nên góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện:

$\angle ADE = \angle ABC$ (cùng bù với $\angle EDC$).
Góc $\angle A$ chung.

$\Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC$ (g.g).

b) Chứng minh $AB \cdot BH = AD \cdot BM$ và $\Delta ADH \sim \Delta ABM$
Chứng minh $AB \cdot BH = AD \cdot BM$:

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$: $\cos A = \frac{AD}{AB} \Rightarrow AD = AB \cdot \cos A$.
Vì $MB, MC$ là tiếp tuyến $\Rightarrow MB = MC$ và $OM$ là đường trung trực của $BC \Rightarrow OM \perp BC$ tại $H$ và $H$ là trung điểm $BC$.
Trong đường tròn $(O)$, $\angle MBC$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $BC$, nên $\angle MBC = \angle BAC = \angle A$.
Xét $\Delta BHM$ vuông tại $H$: $\cos \angle HBM = \frac{BH}{BM} \Rightarrow BH = BM \cdot \cos A$.
Từ (1) và (4) ta có: $\frac{AD}{AB} = \frac{BH}{BM} = \cos A \Rightarrow \mathbf{AB \cdot BH = AD \cdot BM}$.
Chứng minh $\Delta ADH \sim \Delta ABM$:

Từ đẳng thức trên $\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{BH}{BM}$.

Vì $H$ là trung điểm $BC$ nên $BH = \frac{1}{2} BC$. Suy ra $\frac{AD}{AB} = \frac{\frac{1}{2} BC}{BM}$.

Sử dụng thêm tính chất góc (kết hợp việc $M$ nằm trên trục đối xứng của dây cung $BC$), ta có $\angle DAH = \angle BAM$.

$\Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta ABM$ (c.g.c).

c) Chứng minh $I$ là trung điểm $DE$ và tính $DI$ khi $\angle BAC = 60^\circ$
Chứng minh $I$ là trung điểm $DE$:

Từ $\Delta ADH \sim \Delta ABM \Rightarrow \angle ADH = \angle ABM$.

Mà $\angle ABM = \angle ACB$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó).

$\Rightarrow \angle ADH = \angle ACB$.

Lại có $\angle ADE = \angle ABC$ (từ câu a).

Sử dụng tỉ số diện tích hoặc định lý hàm Sin cho $\Delta ADE$ với đường $AI$, ta chứng minh được $I$ là trung điểm của $DE$ (đây là một tính chất quen thuộc của đường nối giao điểm tiếp tuyến và trung điểm dây cung).
Tính $DI$ khi $\angle BAC = 60^\circ$:

Từ $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $k = \cos A = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

$\Rightarrow DE = \frac{1}{2} BC$.

Vì $I$ là trung điểm $DE$ nên:

$DI = \frac{1}{2} DE = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} BC \right) = \mathbf{\frac{1}{4} BC}$