Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

để mình cho

1. Chứng minh A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn
Vì MMM là chân đường vuông góc từ HHH xuống ABABAB
⇒ HM⊥ABHM \perp ABHM⊥AB ⇒ HM⊥AMHM \perp AMHM⊥AM
⇒ ∠AMH=90∘\angle AMH = 90^\circ∠AMH=90∘
Tương tự, NNN là chân đường vuông góc từ HHH xuống ACACAC
⇒ HN⊥ACHN \perp ACHN⊥AC ⇒ HN⊥ANHN \perp ANHN⊥AN
⇒ ∠ANH=90∘\angle ANH = 90^\circ∠ANH=90∘
👉 Ta có:

∠AMH=∠ANH=90∘\angle AMH = \angle ANH = 90^\circ∠AMH=∠ANH=90∘⇒ Hai điểm M,NM, NM,N cùng nhìn đoạn AHAHAH dưới một góc vuông.

📌 Suy ra: M,NM, NM,N cùng nằm trên đường tròn đường kính AHAHAH

⇒ 4 điểm A,M,H,NA, M, H, NA,M,H,N cùng thuộc một đường tròn (đường tròn đường kính AHAHAH).

2. Chứng minh OA⊥MNOA \perp MNOA⊥MN
Ta sẽ dùng tính chất hình học:

Từ trên, M,NM, NM,N nằm trên đường tròn đường kính AHAHAH
⇒ MNMNMN là đường Simson của điểm HHH đối với tam giác ABCABCABC
Nhưng có cách dễ hiểu hơn (không cần nhớ Simson):

Xét:
HM⊥ABHM \perp ABHM⊥AB, HN⊥ACHN \perp ACHN⊥AC
⇒ M,NM, NM,N là hình chiếu của HHH lên hai cạnh
👉 Ta có tính chất quan trọng:

Trong tam giác nội tiếp, với HHH là trực tâm, thì MN∥BCMN \parallel BCMN∥BC

Mà:
OOO là tâm đường tròn ngoại tiếp
⇒ OAOAOA là bán kính
Trong đường tròn:

OA⊥BCOA \perp BCOA⊥BC (vì OAOAOA là trung trực của dây cung đối diện góc A)

Kết luận:
MN∥BCMN \parallel BCMN∥BC
OA⊥BCOA \perp BCOA⊥BC
⇒ suy ra:

OA⊥MNOA \perp MNOA⊥MN
✅ Kết luận cuối cùng:
A,M,H,NA, M, H, NA,M,H,N cùng thuộc một đường tròn (đường kính AHAHAH)
OA⊥MNOA \perp MNOA⊥MN

...Xem thêm

Answer 2