a) Chứng minh $\widehat{MDA}$ = $\widehat{MHA}$ ⇒ tứ giác MDHA nội tiếp
- Do MA, MB là các tiếp tuyến nên:
MA=MB, OA ⊥ MA, OB ⊥ MB
AC là đường kính ⇒ $\widehat{ADC}$ = 90^∘
- Xét điểm D thuộc (O), ta có:
$\widehat{MDA}$ = $\widehat{MCA}$ (cùng chắn cung MA)
Mặt khác, H = AB ∩ MO, từ tính chất đối xứng của hai tiếp tuyến:
MO ⊥ AB ⇒ $\widehat{MHA}$ = $\widehat{MCA}$
⇒ $\widehat{MDA}$ = $\widehat{MHA}$
⟹ Tứ giác MDHA nội tiếp.
b) Chứng minh MD.MC = MH.MO và $\widehat{MHD}$ = $\widehat{DBA}$
Từ câu a), tứ giác MDHA nội tiếp nên áp dụng định lý về hai cát tuyến:
MD.MC = MA²
Mặt khác, do H là giao của hai dây trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDHA:
MH.MO = MA² 
⇒ MD.MC = MH.MO
* Chứng minh $\widehat{MHD}$ = $\widehat{DBA}$
- Do MDHA nội tiếp: $\widehat{MHD}$ = $\widehat{MAD}$
- Trong đường tròn (O):
$\widehat{MAD}$ = $\widehat{DBA}$ (cùng chắn cung MD) ⇒ $\widehat{MHD}$ = $\widehat{DBA}$
c) Chứng minh $\widehat{HDB}$ = 90^∘ và tính diện tích △ABD khi MA = 2R
Từ câu b) ta có:
$\widehat{MHD}$ = $\widehat{DBA}$
Mà AC là đường kính ⇒ $\widehat{DBA}$ = 90^∘
⇒ $\widehat{MHD}$ = 90^∘
⇒ $\widehat{HDB}$ = 90^∘
* Tính diện tích
- Vì MA = 2R, xét tam giác vuông OAM:
$O{M}^2=O{A}^2+A{M}^2=R^2+{(2R)}^2=5R^2\Rightarrow OM=R\sqrt{5}$
​- Ta có công thức độ dài dây: AB = $\frac{2R^2}{OM}=\frac{2R}{\sqrt{5}}$
- Tam giác ABD vuông tại D ⇒ $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD$
- Với AD = R (do D thuộc đường tròn đường kính AC):
$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2R}{\sqrt{5}}\cdot R=\frac{R^2}{\sqrt{5}}$

1. Chứng minh  : Vì   là đường kính của đường tròn  , nên góc   là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  . Do   thẳng hàng nên  .
2. Chứng minh  : Ta có   là hai tiếp tuyến cắt nhau tại   và  . Suy ra   là đường trung trực của đoạn thẳng   tại  . Vậy  .
3. Kết luận: Xét tứ giác   có  . Hai đỉnh   và   cùng nhìn cạnh   dưới một góc vuông, do đó tứ giác   nội tiếp đường tròn đường kính  . Từ đó suy ra  .

1. Chứng minh tích số:
   • Trong tam giác vuông   (vuông tại   do   là tiếp tuyến) có đường cao  , theo hệ thức lượng:  .
   • Trong tam giác vuông   (vuông tại  ) có đường cao  , theo hệ thức lượng:  .
   • Từ đó suy ra  .
2. Chứng minh góc bằng nhau:
   • Từ  .
   • Xét   và   có góc   chung và tỉ lệ cạnh tương ứng   (c.g.c).
   • Suy ra   (hai góc tương ứng).
   • Mà trong đường tròn  ,   và   là hai góc nội tiếp cùng chắn cung   nên  .
   • Vậy  .

1. Chứng minh  :
   • Chứng minh tương tự phần b, ta có   (c.g.c)  .
   • Tứ giác   nội tiếp   (cùng chắn cung  ).
   • Mà   (do   cân tại  ).
   • Ta có  .
   • Vì   là đường kính nên  . Vậy  .
2. Tính diện tích   khi  :
   • Sử dụng hệ trục tọa độ để tính toán nhanh: Đặt  ,  ,  .
   • Vì   và  , ta có  .
   • Đường thẳng   đi qua   và   có phương trình:  .
   • Điểm   là giao của   và đường tròn  . Thay   vào:   (do  ). Vậy  .
   • Điểm   là hình chiếu của   lên   (đường thẳng  ). Tìm được  .
   • Vì   là trung điểm  , ta tìm được  .
   • Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ  :