Bài 8
a. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
Xét tứ giác $AMBN$ có:

$O$ là trung điểm của $AB$ (vì $AB$ là đường kính).
$O$ là trung điểm của $MN$ (vì $MN$ là đường kính).
Suy ra tứ giác $AMBN$ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Mặt khác, $AB = MN$ (cùng là đường kính của $(O)$).
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. (đpcm)
b. Chứng minh tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp
Vì $AMBN$ là hình chữ nhật nên $\widehat{AMB} = 90^\circ$ và $AM // NB$.
Xét $\triangle AMC$ vuông tại $M$ (do $\widehat{AMB} = 90^\circ$): $\widehat{MAC} + \widehat{MCA} = 90^\circ$.
Lại có $AB \perp CD$ (do $CD$ là tiếp tuyến tại $B$). Trong $\triangle ACD$, đường cao $AB$ đồng thời là đường phân giác/trung tuyến không? Không cần, ta xét góc:
Ta có $\widehat{AMN} = \widehat{ABN}$ (cùng chắn cung $AN$).
Mà $\widehat{ABN} = \widehat{ADC}$ (cùng phụ với $\widehat{DAB}$ trong tam giác vuông $ABD$).
Từ đó suy ra $\widehat{AMN} = \widehat{ADC}$.
Tứ giác $MNDC$ có góc ngoài tại đỉnh $M$ bằng góc trong tại đỉnh đối diện $D$. Vậy $MNDC$ là tứ giác nội tiếp. (đpcm)
c. Chứng minh AN.AD = AM.AC
Xét $\triangle ABD$ vuông tại $B$, đường cao $BN$ (do $\widehat{ANB}=90^\circ$):

Theo hệ thức lượng: $AB^2 = AN \cdot AD$ (1)
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $B$, đường cao $BM$ (do $\widehat{AMB}=90^\circ$):

Theo hệ thức lượng: $AB^2 = AM \cdot AC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $AN \cdot AD = AM \cdot AC$. (đpcm)

Bài 9
a. Nhận xét về tứ giác ADHE
Ta có $\widehat{DAE} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ (giả thiết tam giác $ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{ADH} = 90^\circ$ và $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AH$).
Tứ giác $ADHE$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Đối với đường tròn (O): Vì $ADHE$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $AH$ và $DE$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà $AH$ là đường kính, nên $DE$ cũng là đường kính của đường tròn $(O)$.
b. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
Trong tam giác vuông $ABH$ có đường cao $HD$: $AH^2 = AD \cdot AB$.
Trong tam giác vuông $ACH$ có đường cao $HE$: $AH^2 = AE \cdot AC$.
Suy ra $AD \cdot AB = AE \cdot AC \Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$.
Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ACB$ có:

$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
Góc $A$ chung.
$\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ACB$ (c.g.c).
$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ACB}$.
Tứ giác $BDEC$ có góc ngoài tại đỉnh $D$ bằng góc trong tại đỉnh đối diện $C$ nên là tứ giác nội tiếp. (đpcm)
c. Chứng minh AM $\perp$ DE
Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $DE$. Ta cần chứng minh $\widehat{AID} = 90^\circ$.
Trong tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC \Rightarrow AM = MC \Rightarrow \triangle AMC$ cân tại $M$.
$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (hay $\widehat{ACB}$).
Từ ý b, ta có $\triangle ADE \sim \triangle ACB \Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{ACB}$.
Suy ra $\widehat{ADE} = \widehat{MAC}$.
Trong $\triangle ADE$ vuông tại $A$: $\widehat{ADE} + \widehat{AED} = 90^\circ$.
Thay $\widehat{ADE} = \widehat{MAC}$, ta được: $\widehat{MAC} + \widehat{AED} = 90^\circ$.
Xét $\triangle AIE$ có tổng hai góc bằng $90^\circ$, suy ra góc còn lại $\widehat{AIE} = 90^\circ$.
Vậy $AM \perp DE$. (đpcm)