Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
1. Chứng minh các tính chất hình học
a) Tứ giác EMHC nội tiếp
- Ta có: $\hat{A C B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).
=> $\hat{B C E} = 90^{\circ},$ hay $\hat{H C E} = 90^{\circ} .$
- Ta có $\hat{A M B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).
=> $\hat{H M E} = 90^{\circ} .$
- Xét tứ giác EMHC có $\hat{H C E} + \hat{H M E} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} .$
Do đó, tứ giác EMHC nội tiếp được một đường tròn (tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ ).
b) EH vuông góc với AB
- Trong $△ E A B$ , ta có:
$A C ⟂ B E$ tại C (nên AC là đường cao thứ nhất).
$B M ⟂ A E$ tại M (nên BM là đường cao thứ hai).
H là giao điểm của AC và BM, do đó H là trực tâm của $△ E A B .$
=> Đường thẳng đi qua E và H (là EH) phải vuông góc với cạnh còn lại là AB.
Vậy EH $⊥$ AB.
c) Tam giác ABE cân
- Vì M là điểm chính giữa của cung AC nên cung AM = cung MC.
=> $\hat{A B M} = \hat{C B M}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
- Xét $∆$ EAB có BM vừa là đường cao (do BM $⊥$ AE), vừa là đường phân giác (do $\hat{A B M} = \hat{E B M}$ ).
- Một tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Vậy $△ A B E$ cân tại B.

2. Quỹ tích điểm E
- Khi điểm C di động trên nửa đường tròn (O):
- Phần thuận:
+ Theo chứng minh ở câu (c), $△ A B E$ cân tại B nên BA = BE.
+ Mà AB là đường kính cố định, độ dài R không đổi, nên BE = AB = 2R.
+ Điểm B cố định, khoảng cách BE không đổi bằng 2R.
+ Vậy điểm E nằm trên đường tròn tâm B, bán kính BA = 2R.
Giới hạn:
- Khi C trùng với A, dây AC dần thành tiếp tuyến tại A, điểm E sẽ tiến về vị trí sao cho BE vuông góc với AB tại B (không xảy ra vì C khác A).
- Thực tế, khi C chạy trên nửa đường tròn (O), điểm E sẽ di động trên cung tròn tâm B, bán kính BA, nằm phía trên đường thẳng AB (trừ hai điểm nằm trên đường thẳng AB).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
1. Chứng minh các tính chất hình học
a) Tứ giác EMHC nội tiếp
- Ta có: $\hat{A C B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).
=> $\hat{B C E} = 90^{\circ},$ hay $\hat{H C E} = 90^{\circ} .$
- Ta có $\hat{A M B} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).
=> $\hat{H M E} = 90^{\circ} .$
- Xét tứ giác EMHC có $\hat{H C E} + \hat{H M E} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} .$
Do đó, tứ giác EMHC nội tiếp được một đường tròn (tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ ).
b) EH vuông góc với AB
- Trong $△ E A B$ , ta có:
$A C ⟂ B E$ tại C (nên AC là đường cao thứ nhất).
$B M ⟂ A E$ tại M (nên BM là đường cao thứ hai).
H là giao điểm của AC và BM, do đó H là trực tâm của $△ E A B .$
=> Đường thẳng đi qua E và H (là EH) phải vuông góc với cạnh còn lại là AB.
Vậy EH $⊥$ AB.
c) Tam giác ABE cân
- Vì M là điểm chính giữa của cung AC nên cung AM = cung MC.
=> $\hat{A B M} = \hat{C B M}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
- Xét $∆$ EAB có BM vừa là đường cao (do BM $⊥$ AE), vừa là đường phân giác (do $\hat{A B M} = \hat{E B M}$ ).
- Một tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Vậy $△ A B E$ cân tại B.

2. Quỹ tích điểm E
- Khi điểm C di động trên nửa đường tròn (O):
- Phần thuận:
+ Theo chứng minh ở câu (c), $△ A B E$ cân tại B nên BA = BE.
+ Mà AB là đường kính cố định, độ dài R không đổi, nên BE = AB = 2R.
+ Điểm B cố định, khoảng cách BE không đổi bằng 2R.
+ Vậy điểm E nằm trên đường tròn tâm B, bán kính BA = 2R.
Giới hạn:
- Khi C trùng với A, dây AC dần thành tiếp tuyến tại A, điểm E sẽ tiến về vị trí sao cho BE vuông góc với AB tại B (không xảy ra vì C khác A).
- Thực tế, khi C chạy trên nửa đường tròn (O), điểm E sẽ di động trên cung tròn tâm B, bán kính BA, nằm phía trên đường thẳng AB (trừ hai điểm nằm trên đường thẳng AB).

1 câu trả lời 31

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9