Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh 4 điểm O, B, H, C cùng thuộc một đường tròn
- Vì OC ⊥ AB tại O (giả thiết) =>

\hat{C O B}

= 90^∘.
- Vì CH ⊥ BD tại H (giả thiết) =>

\hat{C H B}

= 90^∘.
- Xét tứ giác OBHC có

\hat{C O B}

=

\hat{C H B}

= 90^∘.
- Hai đỉnh O và H cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°, nên tứ giác OBHC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Vậy 4 điểm O, B, H, C cùng nằm trên một đường tròn tâm là trung điểm của BC, bán kính r =

\frac{B C}{2}

.
- Xét tam giác COB vuông tại O, có OC = OB = R.
=> Áp dụng định lý Pythagoras: BC =

\sqrt{O C^{2} + O B^{2}} = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = R \sqrt{2} .

=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp OBHC là: r =

\frac{B C}{2} = \frac{R \sqrt{2}}{2}

b) Chứng minh HO là tia phân giác của

\hat{B H C}

và CE.CH = EB.HD
1. Chứng minh HO là phân giác

\hat{B H C}

:
- Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBHC:
+ Góc nội tiếp

\hat{C H O}

chắn cung CO.
+ Góc nội tiếp

\hat{B H O}

chắn cung BO.
Mà CO = BO = R (bán kính nửa đường tròn (O)), nên cung CO = cung BO.
=>

\hat{C H O}

=

\hat{B H O}

(các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau).
Vậy HO là tia phân giác của góc

\hat{B H C}

.
2. Chứng minh CE.CH = EB.HD:
- Vì OC ⊥ AB và OC = OA = R nên ΔAOC vuông cân tại O =>

\hat{O A C}

= 45^∘.
- Xét tứ giác ABHC có

\hat{B H C}

= 90^∘ (giả thiết) và

\hat{B A C}

= 45^∘.
- Xét ΔECH và ΔEBH: Do HO là phân giác

\hat{B H C}

nên theo tính chất đường phân giác trong ΔBHC, ta có:

\frac{C E}{E B} = \frac{C H}{B H}

(1).
- Xét ΔHCD và ΔHBA:

\hat{C H D}

=

\hat{A H B}

= 90^∘.

\hat{H D C}

=

\hat{H B A}

(cùng phụ với

\hat{B D C}

trong các tam giác vuông).
=> △HCD ~ △HBA (g.g)
=>

\frac{C H}{B H} = \frac{H D}{B A}

(2).
Từ (1) và (2) =>

\frac{C E}{E B} = \frac{H D}{C H}

⇒ CE.CH = EB.HD (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2