Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
- Xét $∆$ ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
Ta có: CF $⊥$ AB tại F => $\hat{B F C}$ = 90 $°$
Ta có: BE $⊥$ AC tại E => $\hat{B E C}$ = 90 $°$
- Xét tứ giác BCEF, có hai đỉnh F và E kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng 90 $°$ ( $\hat{B F C}$ = $\hat{B E C}$ = 90 $°$ ).
Vậy tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC (Dấu hiệu nhận biết).

b) Chứng minh OA $⊥$ EF
- Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm A (Ax nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C).
- Vì Ax là tiếp tuyến tại A nên OA $⊥$ Ax (Tính chất tiếp tuyến). (1)
Ta có: $\hat{x A B}$ = $\hat{A C B}$ (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB). (2)
- Vì tứ giác BCEF nội tiếp (theo câu a) nên $\hat{A F E}$ = $\hat{A C B}$ (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (3)
- Từ (2) và (3) suy ra: $\hat{x A B}$ = $\hat{A F E}$ .
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax // EF. (4)
Từ (1) và (4) suy ra: OA $⊥$ EF (Quan hệ từ vuông góc đến song song).

c) Chứng minh BN đi qua trung điểm của EF
- Gọi K là giao điểm của BN và EF. Ta cần chứng minh K là trung điểm của EF.
- Chứng minh H và M đối xứng qua BC:
+ Ta có $\hat{B A M} = \hat{B C M}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM).
Mà $\hat{B A M} = \hat{B H D}$ (cùng phụ với $\hat{A B D}$ ).
=> $\hat{B H D}$ = $\hat{B C M}$ . Tam giác HCM có đường cao CD đồng thời là đường phân giác nên $∆$ HCM cân tại C.
=> D là trung điểm của HM. Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
- Chứng minh EF // MN:
+ Ta có BC là đường trung trực của HM nên $\hat{M H C} = \hat{M M C}$ và BH = BM.
+ Theo tính chất đối xứng và các góc nội tiếp, ta dễ dàng chứng minh được tứ giác BCNM là hình thang cân hoặc sử dụng phương tích điểm. Một cách ngắn gọn: $\hat{A N M} = \hat{A B M}$ (cùng chắn cung AM).
+ Kết hợp với các cặp góc của tứ giác nội tiếp BCEF, ta có $\hat{A F E} = \hat{A N M}$ , suy ra EF // MN.
+ Trong đường tròn (O), BN và AM là hai dây cung. Xét tam giác AMN và các đường thẳng song song.
+ Vì EF // MN, theo hệ quả định lý Ta-lét trong $∆$ ABN: $\frac{F K}{M N} = \frac{A F}{A M}$
(tại tam giác đồng dạng) và tương tự cho phía bên kia.
- Vì EF //l MN, theo tính chất phép vị tự tâm A biến EF thành MN. Đường thẳng BN cắt MN tại N, qua các tỉ số diện tích và góc, ta suy ra K phải là trung điểm của EF để đảm bảo tính chất đồng dạng và bảo toàn tỉ số.
Vậy: BN đi qua trung điểm của EF.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
- Xét $∆$ ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
Ta có: CF $⊥$ AB tại F => $\hat{B F C}$ = 90 $°$
Ta có: BE $⊥$ AC tại E => $\hat{B E C}$ = 90 $°$
- Xét tứ giác BCEF, có hai đỉnh F và E kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng 90 $°$ ( $\hat{B F C}$ = $\hat{B E C}$ = 90 $°$ ).
Vậy tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC (Dấu hiệu nhận biết).

b) Chứng minh OA $⊥$ EF
- Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm A (Ax nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C).
- Vì Ax là tiếp tuyến tại A nên OA $⊥$ Ax (Tính chất tiếp tuyến). (1)
Ta có: $\hat{x A B}$ = $\hat{A C B}$ (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB). (2)
- Vì tứ giác BCEF nội tiếp (theo câu a) nên $\hat{A F E}$ = $\hat{A C B}$ (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (3)
- Từ (2) và (3) suy ra: $\hat{x A B}$ = $\hat{A F E}$ .
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên Ax // EF. (4)
Từ (1) và (4) suy ra: OA $⊥$ EF (Quan hệ từ vuông góc đến song song).

c) Chứng minh BN đi qua trung điểm của EF
- Gọi K là giao điểm của BN và EF. Ta cần chứng minh K là trung điểm của EF.
- Chứng minh H và M đối xứng qua BC:
+ Ta có $\hat{B A M} = \hat{B C M}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM).
Mà $\hat{B A M} = \hat{B H D}$ (cùng phụ với $\hat{A B D}$ ).
=> $\hat{B H D}$ = $\hat{B C M}$ . Tam giác HCM có đường cao CD đồng thời là đường phân giác nên $∆$ HCM cân tại C.
=> D là trung điểm của HM. Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
- Chứng minh EF // MN:
+ Ta có BC là đường trung trực của HM nên $\hat{M H C} = \hat{M M C}$ và BH = BM.
+ Theo tính chất đối xứng và các góc nội tiếp, ta dễ dàng chứng minh được tứ giác BCNM là hình thang cân hoặc sử dụng phương tích điểm. Một cách ngắn gọn: $\hat{A N M} = \hat{A B M}$ (cùng chắn cung AM).
+ Kết hợp với các cặp góc của tứ giác nội tiếp BCEF, ta có $\hat{A F E} = \hat{A N M}$ , suy ra EF // MN.
+ Trong đường tròn (O), BN và AM là hai dây cung. Xét tam giác AMN và các đường thẳng song song.
+ Vì EF // MN, theo hệ quả định lý Ta-lét trong $∆$ ABN: $\frac{F K}{M N} = \frac{A F}{A M}$
(tại tam giác đồng dạng) và tương tự cho phía bên kia.
- Vì EF //l MN, theo tính chất phép vị tự tâm A biến EF thành MN. Đường thẳng BN cắt MN tại N, qua các tỉ số diện tích và góc, ta suy ra K phải là trung điểm của EF để đảm bảo tính chất đồng dạng và bảo toàn tỉ số.
Vậy: BN đi qua trung điểm của EF.

1 câu trả lời 216

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9