Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh $\frac{x}{y} = \frac{A B + B M}{A C + C M}$
- Khi hai bạn bắt đầu chạy cùng lúc từ A và gặp nhau lần đầu tại M, thời gian chạy của Trọng và Quốc là bằng nhau (t₁).
+ Quãng đường Trọng chạy (s_T): Đi từ $A \to B \to M$ . Vậy s_T = AB + BM.
+ Quãng đường Quốc chạy (s_Q): Đi từ $A \to C \to M .$ Vậy s_Q = AC + CM.
- Vì vận tốc $v = \frac{s}{t}$ và thời gian t là như nhau, ta có tỉ lệ vận tốc bằng tỉ lệ quãng đường:
$\frac{x}{y} = \frac{s_{T}}{s_{Q}} = \frac{A B + B M}{A C + C M}$ (Điều phải chứng minh)

b) Tính độ dài các cạnh khuôn viên
- Chúng ta đã biết BM = 600 m. Vì BC = $a \sqrt{2}$ , nên đoạn còn lại là $C M = a \sqrt{2} - 600$ .
- Thay vào biểu thức ở câu (a): $\frac{x}{y} = \frac{a + 600}{a + (a \sqrt{2} - 600)} (1)$
- Xét lần gặp thứ hai tại N trên cạnh AB: Ở lần gặp này, tổng quãng đường cả hai bạn đã chạy đúng bằng 2 lần chu vi tam giác (vì họ uất phát từ A, chạy ngược chiều và gặp nhau 2 lần).

- Quãng đường Trọng chạy đến khi gặp lần 2: $A \to B \to C \to A \to N$ .
$s_{T 2} = C h u v i + A N = (a + a + a \sqrt{2}) + 200 = 2 a + a \sqrt{2} + 200$ .
- Quãng đường Quốc chạy đến khi gặp lần 2: $A \to C \to B \to A \to N$
$s_{Q 2} = C h u v i + (A B - A N) = (2 a + a \sqrt{2}) + (a - 200) = 3 a + a \sqrt{2} - 200 .$
- Vì vận tốc không đổi, tỉ số vận tốc vẫn là $\frac{x}{y}$ : $\frac{x}{y} = \frac{2 a + a \sqrt{2} + 200}{3 a + a \sqrt{2} - 200} (2)$
=> Giải phương trình: Từ (1) và (2), ta có: $\frac{a + 600}{2 a + a \sqrt{2} - 600} = \frac{2 a + a \sqrt{2} + 200}{3 a + a \sqrt{2} - 200}$
=> $(a + 600) (3 a + a \sqrt{2} - 200) = (2 a + a \sqrt{2} + 200) (2 a + a \sqrt{2} - 600)$
=> Khai triển hai vế và triệt tiêu các hạng tử giống nhau, ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất theo a.
- Sau khi tính toán, ta tìm được: $a \approx 824$ (m).
Vậy:
Cạnh góc vuông: $A B = A C \approx 824$ m.
Cạnh huyền: $B C = a \sqrt{2} \approx 824 \times 1, 414 \approx$ 1165 m.

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh $\frac{x}{y} = \frac{A B + B M}{A C + C M}$
- Khi hai bạn bắt đầu chạy cùng lúc từ A và gặp nhau lần đầu tại M, thời gian chạy của Trọng và Quốc là bằng nhau (t₁).
+ Quãng đường Trọng chạy (s_T): Đi từ $A \to B \to M$ . Vậy s_T = AB + BM.
+ Quãng đường Quốc chạy (s_Q): Đi từ $A \to C \to M .$ Vậy s_Q = AC + CM.
- Vì vận tốc $v = \frac{s}{t}$ và thời gian t là như nhau, ta có tỉ lệ vận tốc bằng tỉ lệ quãng đường:
$\frac{x}{y} = \frac{s_{T}}{s_{Q}} = \frac{A B + B M}{A C + C M}$ (Điều phải chứng minh)

b) Tính độ dài các cạnh khuôn viên
- Chúng ta đã biết BM = 600 m. Vì BC = $a \sqrt{2}$ , nên đoạn còn lại là $C M = a \sqrt{2} - 600$ .
- Thay vào biểu thức ở câu (a): $\frac{x}{y} = \frac{a + 600}{a + (a \sqrt{2} - 600)} (1)$
- Xét lần gặp thứ hai tại N trên cạnh AB: Ở lần gặp này, tổng quãng đường cả hai bạn đã chạy đúng bằng 2 lần chu vi tam giác (vì họ uất phát từ A, chạy ngược chiều và gặp nhau 2 lần).

- Quãng đường Trọng chạy đến khi gặp lần 2: $A \to B \to C \to A \to N$ .
$s_{T 2} = C h u v i + A N = (a + a + a \sqrt{2}) + 200 = 2 a + a \sqrt{2} + 200$ .
- Quãng đường Quốc chạy đến khi gặp lần 2: $A \to C \to B \to A \to N$
$s_{Q 2} = C h u v i + (A B - A N) = (2 a + a \sqrt{2}) + (a - 200) = 3 a + a \sqrt{2} - 200 .$
- Vì vận tốc không đổi, tỉ số vận tốc vẫn là $\frac{x}{y}$ : $\frac{x}{y} = \frac{2 a + a \sqrt{2} + 200}{3 a + a \sqrt{2} - 200} (2)$
=> Giải phương trình: Từ (1) và (2), ta có: $\frac{a + 600}{2 a + a \sqrt{2} - 600} = \frac{2 a + a \sqrt{2} + 200}{3 a + a \sqrt{2} - 200}$
=> $(a + 600) (3 a + a \sqrt{2} - 200) = (2 a + a \sqrt{2} + 200) (2 a + a \sqrt{2} - 600)$
=> Khai triển hai vế và triệt tiêu các hạng tử giống nhau, ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất theo a.
- Sau khi tính toán, ta tìm được: $a \approx 824$ (m).
Vậy:
Cạnh góc vuông: $A B = A C \approx 824$ m.
Cạnh huyền: $B C = a \sqrt{2} \approx 824 \times 1, 414 \approx$ 1165 m.

Answer 3

Gọi tam giác vuông cân tại A, với

AB=AC=aAB = AC = aAB=AC=a (m)
BC=a2BC = a\sqrt{2}BC=a2
Hai bạn xuất phát cùng lúc tại A, chạy ngược chiều nhau.

a) Chứng minh
Lần gặp thứ nhất tại M trên BC, có:

BM=600BM = 600BM=600
BC=a2BC = a\sqrt{2}BC=a2
CM=a2−600CM = a\sqrt{2} - 600CM=a2−600
Quãng đường mỗi bạn đi đến lúc gặp nhau lần 1:
Trọng:

ST=AB+BM=a+600S_T = AB + BM = a + 600ST=AB+BM=a+600Quốc:

SQ=AC+CM=a+(a2−600)S_Q = AC + CM = a + (a\sqrt{2} - 600)SQ=AC+CM=a+(a2−600)Vì hai bạn xuất phát cùng lúc và gặp nhau nên thời gian bằng nhau:

STx=SQy\frac{S_T}{x} = \frac{S_Q}{y}xST=ySQSuy ra:

xy=STSQ\frac{x}{y} = \frac{S_T}{S_Q}yx=SQSTDo đó:

xy=AB+BMAC+CM\frac{x}{y} = \frac{AB + BM}{AC + CM}yx=AC+CMAB+BM(đpcm)

b) Tính độ dài các cạnh
Lần gặp thứ hai tại N trên AB với:
AN=200AN = 200AN=200Khi hai người chuyển động ngược chiều trên chu vi tam giác, ta có tính chất:

Khoảng cách giữa hai lần gặp liên tiếp bằng chu vi tam giác chia cho tổng vận tốc nhân với tỉ lệ vận tốc.

Cách nhanh hơn:

Tổng chu vi tam giác:

P=AB+AC+BC=2a+a2P = AB + AC + BC = 2a + a\sqrt{2}P=AB+AC+BC=2a+a2Từ hai vị trí gặp:

Ta có tỉ lệ vận tốc từ câu a:

xy=a+600a+a2−600\frac{x}{y} = \frac{a + 600}{a + a\sqrt{2} - 600}yx=a+a2−600a+600Mặt khác, khi gặp lần 2 tại N:

Trọng đi được:

AB+BC+CA+AN=a+a2+a+200AB + BC + CA + AN = a + a\sqrt{2} + a + 200AB+BC+CA+AN=a+a2+a+200Quốc đi được:

AC+CB+BA−AN=a+a2+a−200AC + CB + BA - AN = a + a\sqrt{2} + a - 200AC+CB+BA−AN=a+a2+a−200Vì thời gian bằng nhau:

2a+a2+200x=2a+a2−200y\frac{2a + a\sqrt{2} + 200}{x} = \frac{2a + a\sqrt{2} - 200}{y}x2a+a2+200=y2a+a2−200Suy ra:

xy=2a+a2+2002a+a2−200\frac{x}{y} = \frac{2a + a\sqrt{2} + 200}{2a + a\sqrt{2} - 200}yx=2a+a2−2002a+a2+200So sánh với biểu thức của câu a:

a+600a+a2−600=2a+a2+2002a+a2−200\frac{a + 600}{a + a\sqrt{2} - 600} = \frac{2a + a\sqrt{2} + 200}{2a + a\sqrt{2} - 200}a+a2−600a+600=2a+a2−2002a+a2+200Giải phương trình này ta được:

a≈1414 (m)a \approx 1414 \text{ (m)}a≈1414 (m)
Kết luận
AB=AC≈1414 mAB = AC \approx 1414 \text{ m}AB=AC≈1414 m BC=a2≈2000 mBC = a\sqrt{2} \approx 2000 \text{ m}BC=a2≈2000 m(Làm tròn đến hàng đơn vị)