Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp
- Vì M nằm trên đường tròn đường kính BC nên góc $\hat{B M C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> $\hat{B M D} = 90^{\circ}$ (kề bù với $\hat{B M C}$ ).
- Theo giả thiết, đường thẳng d $⊥$ AC tại A, nên $\hat{B A D} = 90^{\circ}$ .
- Xét tứ giác ABMD, ta có $\hat{B A D} = \hat{B M D} = 90^{\circ}$ . Hai đỉnh A và M cùng nhìn đoạn BD dưới một góc vuông.
=> Tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính BD.
b) Chứng minh CM $⊥$ CD không phụ thuộc vị trí của M
- Xét hai tam giác $∆$ CMA và $∆$ CAD, ta có:
Góc $\hat{C}$ chung.
$\hat{C M A} = 90^{\circ}$ (như đã chứng minh ở câu a).
$\hat{C A D} = 90^{\circ}$ (do d $⊥$ AC).
Do đó, $∆$ CMA $\approx$ $∆$ CAD (g.g).
Lập tỉ số đồng dạng: $\frac{C M}{C A} = \frac{C A}{C D}$ .
=> CM.CD = CA².
- Vì A và C cố định nên độ dài CA không đổi. Vậy CM.CD không đổi.
c) Tứ giác APND là hình gì?
- Tứ giác APND là hình thang cân.
- Ta có $\hat{B P C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên CP $⊥$ DB. Trong tam giác BCD, CP và DA là hai đường cao cắt nhau tại M (vì DA $⊥$ BC và CP $⊥$ DB). Vậy M là trực tâm $∆$ BCD => BM $⊥$ CD.
- Mà $\hat{B N C} = 90^{\circ} \Rightarrow C N ⟂ B N$ . Từ đó ta chứng minh được các cặp cạnh song song dựa trên góc nội tiếp (hoặc chứng minh APND nội tiếp và có hai cạnh đáy song song).
- Cụ thể: DN // AP vì cùng vuông góc với một phương nhất định hoặc dựa vào tính chất trực tâm.
d) Quỹ tích trọng tâm G của tam giác MAC
- Gọi I là trung điểm của AC. Vì A, C cố định nên I cố định.
- Theo tính chất trọng tâm: $\vec{I G} = \frac{1}{3} \vec{I M}$ (hoặc hiểu theo độ dài đại số trên tia IM sao cho IG = $\frac{1}{3} I M$ ).
- Đây là phép vị tự tâm I tỉ số k = $\frac{1}{3}$ biến điểm M thành điểm G.
- Vì M chạy trên đường tròn đường kính BC (gọi tâm là O, bán kính R = BC/2), nên G sẽ chạy trên một đường tròn là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự này.
Vậy: Trọng tâm G chạy trên một đường tròn cố định.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp
- Vì M nằm trên đường tròn đường kính BC nên góc $\hat{B M C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
=> $\hat{B M D} = 90^{\circ}$ (kề bù với $\hat{B M C}$ ).
- Theo giả thiết, đường thẳng d $⊥$ AC tại A, nên $\hat{B A D} = 90^{\circ}$ .
- Xét tứ giác ABMD, ta có $\hat{B A D} = \hat{B M D} = 90^{\circ}$ . Hai đỉnh A và M cùng nhìn đoạn BD dưới một góc vuông.
=> Tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính BD.
b) Chứng minh CM $⊥$ CD không phụ thuộc vị trí của M
- Xét hai tam giác $∆$ CMA và $∆$ CAD, ta có:
Góc $\hat{C}$ chung.
$\hat{C M A} = 90^{\circ}$ (như đã chứng minh ở câu a).
$\hat{C A D} = 90^{\circ}$ (do d $⊥$ AC).
Do đó, $∆$ CMA $\approx$ $∆$ CAD (g.g).
Lập tỉ số đồng dạng: $\frac{C M}{C A} = \frac{C A}{C D}$ .
=> CM.CD = CA².
- Vì A và C cố định nên độ dài CA không đổi. Vậy CM.CD không đổi.
c) Tứ giác APND là hình gì?
- Tứ giác APND là hình thang cân.
- Ta có $\hat{B P C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên CP $⊥$ DB. Trong tam giác BCD, CP và DA là hai đường cao cắt nhau tại M (vì DA $⊥$ BC và CP $⊥$ DB). Vậy M là trực tâm $∆$ BCD => BM $⊥$ CD.
- Mà $\hat{B N C} = 90^{\circ} \Rightarrow C N ⟂ B N$ . Từ đó ta chứng minh được các cặp cạnh song song dựa trên góc nội tiếp (hoặc chứng minh APND nội tiếp và có hai cạnh đáy song song).
- Cụ thể: DN // AP vì cùng vuông góc với một phương nhất định hoặc dựa vào tính chất trực tâm.
d) Quỹ tích trọng tâm G của tam giác MAC
- Gọi I là trung điểm của AC. Vì A, C cố định nên I cố định.
- Theo tính chất trọng tâm: $\vec{I G} = \frac{1}{3} \vec{I M}$ (hoặc hiểu theo độ dài đại số trên tia IM sao cho IG = $\frac{1}{3} I M$ ).
- Đây là phép vị tự tâm I tỉ số k = $\frac{1}{3}$ biến điểm M thành điểm G.
- Vì M chạy trên đường tròn đường kính BC (gọi tâm là O, bán kính R = BC/2), nên G sẽ chạy trên một đường tròn là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự này.
Vậy: Trọng tâm G chạy trên một đường tròn cố định.

1 câu trả lời 73

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9