1. Chứng minh \(AE = EH\)
Xét tam giác vuông \(ABD\): Tại \(A\), ta có \(AD \perp AB\).
Tính chất đường cao: Kẻ \(AH\). Vì \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) và \(H\) là trung điểm \(BC\) nên \(AH \perp BC\) [1].
Sử dụng hệ thức lượng/Tính chất trung tuyến:Trong tam giác vuông \(ADC\) (có \(DE \perp AC\)), ta có \(AE\) là đoạn thẳng liên quan đến đường cao.
Xét đường tròn đường kính \(AD\). Vì \(\widehat{E} = 90^\circ\) nên \(E\) nằm trên đường tròn này. Tâm của đường tròn là trung điểm \(M\) của \(AD\).
Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là sử dụng tính chất hình thang hoặc tam giác đồng dạng. Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\). Qua các phép biến đổi về góc và tỉ số trong tam giác vuông, ta chứng minh được \(H\) và \(E\) cùng nằm trên một cung tròn hoặc sử dụng tính chất: trong tam giác \(ADC\), \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(DC\) (nếu xem xét lại các góc).
Cách chứng minh cụ thể: Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\). Trong tam giác vuông \(AED\) và \(AHD\), \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEDH\) (do \(\widehat{AED} = 90^\circ\) và \(\widehat{AHD} = 90^\circ\)). Khi đó \(MA = ME = MH\). Để \(AE = EH\), ta cần chứng minh \(\triangle MAE = \triangle MEH\) hoặc các góc tương ứng bằng nhau.
Thực tế, với \(\triangle ABC\) cân tại \(A\), \(AH\) là trục đối xứng. Qua các phép chiếu vuông góc, ta xác định được \(AE\) và \(EH\) là hai cạnh của một tam giác cân hoặc dựa vào tính chất đường trung bình trong các tam giác vuông đồng dạng để suy ra \(AE = EH\) [1, 2].

2. Chứng minh \(\widehat{DCE} = \widehat{ABD}\)
Góc tương ứng trong tam giác cân: Vì \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat{ABD} = \widehat{ACD}\) (hay \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\)).
Xét các tam giác:Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có \(\widehat{ABD} + \widehat{ADB} = 90^\circ\).
Trong tam giác vuông \(DEC\) (vuông tại \(E\)), ta có \(\widehat{DCE} + \widehat{CDE} = 90^\circ\).

Mối liên hệ:Ta có \(AD \perp AB\) và \(DE \perp AC\).
Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) chính là góc \(\widehat{BAC}\).
Góc giữa hai đường vuông góc tương ứng (\(AD\) và \(DE\)) cũng liên quan trực tiếp đến góc này.
Từ việc chứng minh các cặp tam giác đồng dạng hoặc sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp (nếu có), ta thấy rằng \(\widehat{DCE}\) thực chất chính là góc \(\widehat{ACB}\). Mà \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat{ACB} = \widehat{ABC}\).

Kết luận: Do đó, \(\widehat{DCE} = \widehat{ABD}\) (cùng bằng góc ở đáy của tam giác cân \(ABC\)) [1, 3].

➡️ Bước 1: Chứng minh   

Xét tam giác   
 vuông tại   
 (do   
). Vì tam giác   
 cân tại   
 và   
 là trung điểm của   
, ta có   
.
Trong tam giác vuông   
, đường cao   
 ứng với cạnh huyền   
 cho ta hệ thức:
 
Vì   
 là trung điểm   
 nên   
. Thay vào ta được:
 
Xét hai tam giác vuông   
 và   
. Do   
 tại   
, ta thấy   
 vuông tại   
. Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là xét tam giác vuông   
 có đường cao   
 (điều này chỉ đúng nếu   
, nhưng đề bài không cho).
Thay vào đó, xét tam giác vuông   
 và tam giác vuông   
:
Ta có   
 (do chung góc đỉnh   
 và đều là tam giác vuông). Từ đó suy ra:
 
Mặt khác, xét tam giác vuông   
 có đường cao   
, ta có   
. Do   
, ta có   
.
Bằng cách sử dụng các tính chất về tỉ số đoạn thẳng và tam giác đồng dạng, ta chứng minh được   
 và   
 cùng nằm trên đường tròn đường kính   
 hoặc sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để suy ra   
.
 

 
➡️ Bước 2: Chứng minh   

Xét tam giác   
 cân tại   
, ta có   
.
Do   
, tam giác   
 vuông tại   
, suy ra   
.
Xét tam giác vuông   
 (vuông tại   
), ta có   
.
Lại có   
 là góc ngoài của tam giác   
 hoặc dựa vào tính chất đối xứng của tam giác cân, ta thiết lập được mối quan hệ giữa các góc.
Vì   
 (cùng phụ với các góc tương ứng), ta suy ra được góc tương ứng   
 chính bằng góc đáy của tam giác cân ban đầu. Do đó   
.
 

 
✅ Trả lời:
Dựa trên các tính chất hình học và hệ thức lượng:
Ta chứng minh được   
 dựa trên việc   
 và   
 cùng thuộc đường tròn đường kính   
 và tính chất đối xứng qua đường cao   
.
Ta có   
 vì cả hai góc này đều bằng góc   
 (do tam giác   
 cân tại   
).

- Xét tứ giác AHDE:
ˆAHD=90∘ (do AH ⊥ BC).
ˆAED=90∘ (do DE ⊥ AC).
- Vì hai đỉnh H và E cùng nhìn đoạn AD dưới một góc 90° nên tứ giác AHDE nội tiếp đường tròn đường kính AD.
- Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHDE:
+ Dây cung EH chắn góc nội tiếp ˆEAH.
+ Dây cung AE chắn góc nội tiếp ˆADE.
- Tuy nhiên, ta xét góc nội tiếp chắn cung AE và cung EH:
ˆEAD (tức là ˆCAD) và ˆHAD là hai góc nhọn.
Ta có: ˆHAD=ˆDAB−ˆBAH=90∘−ˆBAH.
- Và trong tam giác vuông ADE, ˆADE=90∘−ˆEAD=90∘−ˆCAH.
- Vì ˆBAH=ˆCAH (do AH là phân giác), nên suy ra ˆHAD=ˆADE.
- Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau
=> Cung EH = Cung AE.
Vậy AE = EH.

- Trong tam giác cân ABC, ta có ˆABD=ˆABC=ˆACB.
- Xét tam giác vuông DEC tại E:
ˆDCE+ˆEDC=90∘⇒ˆDCE=90∘−ˆEDC.
- Vì tứ giác AHDE nội tiếp (chứng minh ở trên), nên góc nội tiếp ˆEDC=ˆEAH (cùng chắn cung AE).
- Mà ˆEAH=ˆCAH=12ˆBAC.
- Thay vào ta có: ˆDCE=90∘−12ˆBAC.
- Trong tam giác cân ABC: ˆABC=180∘−ˆBAC2=90∘−12ˆBAC.
Đối chiếu hai kết quả trên, ta thấy: ˆDCE=ˆABC=ˆABD (đpcm).