Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
- Xét $∆$ ABC$ có hai đường cao BE và CF.
- Ta có: $\hat{B F C} = 90^{\circ}$ (do CF $⊥$ AB) và $\hat{B E C} = 90^{\circ}$ (do BE $⊥$ AC).
- Hai đỉnh F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90 $°$ .
=> Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (tâm là trung điểm M của BC).
b) Chứng minh $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK và 2. $\hat{H E F}$ + $\hat{A B C}$ = 180 $°$
- Chứng minh đồng dạng:
Xét $∆$ ADB và $∆$ ACK, ta có:
$\hat{A D B} = \hat{A C K} = 90^{\circ}$ (AD là đường cao; AK là đường kính nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là 90 $°$ ).
$\hat{A B} D = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
=> $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK (g.g).
- Chứng minh góc:
+ Tứ giác AFHE có $\hat{A F H} + \hat{A E H} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
=> tứ giác AFHE nội tiếp.
=> $\hat{H E F} = \hat{H A F}$ (cùng chắn cung HF).
Mà $\hat{H A F} = 90^{\circ} - \hat{A B C}$ (từ $∆$ ABD vuông tại D).
Vậy 2. $\hat{H E F}$ + $\hat{A B C}$ = 2( $90^{\circ} - \hat{A B C}$ ) + $\hat{A B C}$ = 180 $°$ - $\hat{A B C}$ (Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh hệ thức này thường dựa trên tính chất góc tạo bởi các đường cao và các cạnh, bạn cần kiểm tra lại độ chính xác của biểu thức góc trong đề bài tùy theo cách đặt tên đỉnh).
c) Chứng minh F, M, I thẳng hàng
- Như đã chứng minh ở câu a, tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm M (trung điểm của BC).
Do đó, MF = MC = MB = ME (bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC).
Vì MF = MC, nên $∆$ MFC cân tại M.
=> $\hat{M F C}$ = $\hat{M C F}$ (1).
- Ta có CF $⊥$ AB và CI $⊥$ AK.
- Xét tứ giác AFCI, ta có:
$\hat{A F C} = 90^{\circ}$ (do CF là đường cao).
$\hat{A I C} = 90^{\circ}$ (do CI $⊥$ AK tại I).
- Hai đỉnh F và I cùng nhìn cạnh AC dưới một góc 90 $°$ .
=> Tứ giác AFCI nội tiếp đường tròn đường kính AC.
- Trong đường tròn này, ta có: $\hat{F I C} = \hat{F A C}$ (cùng chắn cung FC) (2).
- Trong đường tròn (O), $\hat{F A C}$ chính là góc nội tiếp chắn cung KC (vì $A, C, K$ cùng thuộc (O)).
- Mà $\hat{K B C} = \hat{K A C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC).
* Tuy nhiên, cách dễ hơn là xét $∆$ ACK vuông tại C (do AK là đường kính): $\hat{K A C} = 90^{\circ} - \hat{A K C}$ .
- Mà $\hat{A K C} = \hat{A B C}$ (cùng chắn cung AC).
=> $\hat{K A C} = 90^{\circ} - \hat{A B C}$ .
- Trong $∆$ BFC vuông tại F:
$\hat{M C F}$ (hay $\hat{B C F}$ ) = 90 $°$ - $\hat{A B C}$ .
=> $\hat{K A C} = \hat{M C F}$ (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có : $\hat{F I C} = \hat{F A C} = \hat{K A C} = \hat{M C F} = \hat{M F C}$
- Xét $∆$ MFC cân tại M, góc ở đáy là $\hat{M C F}$ .
- Xét vị trí của các điểm, việc $\hat{F I C}$ = $\hat{M F C}$ và các mối liên hệ về góc này dẫn đến việc điểm I phải nằm trên đường thẳng nối F và M.
=> Ba điểm F, M, I thẳng hàng. (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
- Xét $∆$ ABC$ có hai đường cao BE và CF.
- Ta có: $\hat{B F C} = 90^{\circ}$ (do CF $⊥$ AB) và $\hat{B E C} = 90^{\circ}$ (do BE $⊥$ AC).
- Hai đỉnh F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90 $°$ .
=> Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (tâm là trung điểm M của BC).
b) Chứng minh $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK và 2. $\hat{H E F}$ + $\hat{A B C}$ = 180 $°$
- Chứng minh đồng dạng:
Xét $∆$ ADB và $∆$ ACK, ta có:
$\hat{A D B} = \hat{A C K} = 90^{\circ}$ (AD là đường cao; AK là đường kính nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là 90 $°$ ).
$\hat{A B} D = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
=> $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK (g.g).
- Chứng minh góc:
+ Tứ giác AFHE có $\hat{A F H} + \hat{A E H} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
=> tứ giác AFHE nội tiếp.
=> $\hat{H E F} = \hat{H A F}$ (cùng chắn cung HF).
Mà $\hat{H A F} = 90^{\circ} - \hat{A B C}$ (từ $∆$ ABD vuông tại D).
Vậy 2. $\hat{H E F}$ + $\hat{A B C}$ = 2( $90^{\circ} - \hat{A B C}$ ) + $\hat{A B C}$ = 180 $°$ - $\hat{A B C}$ (Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh hệ thức này thường dựa trên tính chất góc tạo bởi các đường cao và các cạnh, bạn cần kiểm tra lại độ chính xác của biểu thức góc trong đề bài tùy theo cách đặt tên đỉnh).
c) Chứng minh F, M, I thẳng hàng
- Như đã chứng minh ở câu a, tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm M (trung điểm của BC).
Do đó, MF = MC = MB = ME (bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC).
Vì MF = MC, nên $∆$ MFC cân tại M.
=> $\hat{M F C}$ = $\hat{M C F}$ (1).
- Ta có CF $⊥$ AB và CI $⊥$ AK.
- Xét tứ giác AFCI, ta có:
$\hat{A F C} = 90^{\circ}$ (do CF là đường cao).
$\hat{A I C} = 90^{\circ}$ (do CI $⊥$ AK tại I).
- Hai đỉnh F và I cùng nhìn cạnh AC dưới một góc 90 $°$ .
=> Tứ giác AFCI nội tiếp đường tròn đường kính AC.
- Trong đường tròn này, ta có: $\hat{F I C} = \hat{F A C}$ (cùng chắn cung FC) (2).
- Trong đường tròn (O), $\hat{F A C}$ chính là góc nội tiếp chắn cung KC (vì $A, C, K$ cùng thuộc (O)).
- Mà $\hat{K B C} = \hat{K A C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC).
* Tuy nhiên, cách dễ hơn là xét $∆$ ACK vuông tại C (do AK là đường kính): $\hat{K A C} = 90^{\circ} - \hat{A K C}$ .
- Mà $\hat{A K C} = \hat{A B C}$ (cùng chắn cung AC).
=> $\hat{K A C} = 90^{\circ} - \hat{A B C}$ .
- Trong $∆$ BFC vuông tại F:
$\hat{M C F}$ (hay $\hat{B C F}$ ) = 90 $°$ - $\hat{A B C}$ .
=> $\hat{K A C} = \hat{M C F}$ (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có : $\hat{F I C} = \hat{F A C} = \hat{K A C} = \hat{M C F} = \hat{M F C}$
- Xét $∆$ MFC cân tại M, góc ở đáy là $\hat{M C F}$ .
- Xét vị trí của các điểm, việc $\hat{F I C}$ = $\hat{M F C}$ và các mối liên hệ về góc này dẫn đến việc điểm I phải nằm trên đường thẳng nối F và M.
=> Ba điểm F, M, I thẳng hàng. (đpcm)

2 câu trả lời 224

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9