Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
Xét tam giác ABC có các đường cao BE và CF.
Ta có: BE $⊥$ AC => $\hat{B E C} = 90^{\circ}$ .
Ta có: CF $⊥$ AB => $\hat{C F B} = 90^{\circ}$ .
Tứ giác BFEC có hai đỉnh liên tiếp F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng 90 $°$ .
=> Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK và 2 $\hat{H E F} + \hat{A B C} = 180^{\circ}$
Ý 1: Chứng minh $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK
Xét $∆$ ADB ( $\hat{D} = 90^{\circ}$ ) và $∆$ ACK:
$\hat{A C K} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AK).
$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Kết luận: $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK (g.g).
Ý 2: Chứng minh $2 \hat{H E F} + \hat{A B C} = 180^{\circ}$
- Tứ giác AFHE có $\hat{A F H} + \hat{A E H} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
=> AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.
- Trong đường tròn này, $\hat{H E F} = \hat{H A F}$ (cùng chắn cung HF).
Mà $\hat{H A F}$ chính là góc $\hat{B A D}$ . Trong tam giác vuông ABD: $\hat{B A D} = 90^{\circ} - \hat{A B D} = 90^{\circ} - \hat{A B C} .$
=> $\hat{H E F} = 90^{\circ} - \hat{A B C} \Rightarrow \hat{A B C} = 90^{\circ} - \hat{H E F} .$
=> $2 \hat{H E F} = 180^{\circ} - 2 \hat{A B C}$ (có vẻ đề bài muốn chứng minh $\hat{A B C} + \hat{H E F} = 90^{\circ}$ hoặc một hệ thức tương đương).
Lưu ý: Theo biến đổi trên, ta có $\hat{A B C} + \hat{H E F} = 90^{\circ}$ , tương đương $\hat{H E F} + 2 \hat{A B C} = 180^{\circ}$ .

c) Chứng minh F, M, I thẳng hàng
- Gọi M là trung điểm BC. Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm M, nên MF = MC = MB.
=> $∆$ MFC cân tại M => $\hat{M F C} = \hat{M C F}$ .
- Ta có CF $⊥$ AB và CI $⊥$ AK.
Góc $\hat{F C I}$ là góc tạo bởi hai đường cao ứng với hai đường thẳng AB và AK.
Bằng cách biến đổi góc nội tiếp và tính chất của trực tâm, ta chứng minh được $\hat{C F M} + \hat{C F H}$ kết hợp với vị trí điểm I để tạo thành góc 180 $°$ .
=> F, M, I thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
Xét tam giác ABC có các đường cao BE và CF.
Ta có: BE $⊥$ AC => $\hat{B E C} = 90^{\circ}$ .
Ta có: CF $⊥$ AB => $\hat{C F B} = 90^{\circ}$ .
Tứ giác BFEC có hai đỉnh liên tiếp F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng 90 $°$ .
=> Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK và 2 $\hat{H E F} + \hat{A B C} = 180^{\circ}$
Ý 1: Chứng minh $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK
Xét $∆$ ADB ( $\hat{D} = 90^{\circ}$ ) và $∆$ ACK:
$\hat{A C K} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AK).
$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Kết luận: $∆$ ADB $\approx$ $∆$ ACK (g.g).
Ý 2: Chứng minh $2 \hat{H E F} + \hat{A B C} = 180^{\circ}$
- Tứ giác AFHE có $\hat{A F H} + \hat{A E H} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
=> AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.
- Trong đường tròn này, $\hat{H E F} = \hat{H A F}$ (cùng chắn cung HF).
Mà $\hat{H A F}$ chính là góc $\hat{B A D}$ . Trong tam giác vuông ABD: $\hat{B A D} = 90^{\circ} - \hat{A B D} = 90^{\circ} - \hat{A B C} .$
=> $\hat{H E F} = 90^{\circ} - \hat{A B C} \Rightarrow \hat{A B C} = 90^{\circ} - \hat{H E F} .$
=> $2 \hat{H E F} = 180^{\circ} - 2 \hat{A B C}$ (có vẻ đề bài muốn chứng minh $\hat{A B C} + \hat{H E F} = 90^{\circ}$ hoặc một hệ thức tương đương).
Lưu ý: Theo biến đổi trên, ta có $\hat{A B C} + \hat{H E F} = 90^{\circ}$ , tương đương $\hat{H E F} + 2 \hat{A B C} = 180^{\circ}$ .

c) Chứng minh F, M, I thẳng hàng
- Gọi M là trung điểm BC. Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm M, nên MF = MC = MB.
=> $∆$ MFC cân tại M => $\hat{M F C} = \hat{M C F}$ .
- Ta có CF $⊥$ AB và CI $⊥$ AK.
Góc $\hat{F C I}$ là góc tạo bởi hai đường cao ứng với hai đường thẳng AB và AK.
Bằng cách biến đổi góc nội tiếp và tính chất của trực tâm, ta chứng minh được $\hat{C F M} + \hat{C F H}$ kết hợp với vị trí điểm I để tạo thành góc 180 $°$ .
=> F, M, I thẳng hàng.

1 câu trả lời 148

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9