Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh năm điểm A, B, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn
- Xét tứ giác ABDE:
$\hat{A D B}$ = 90 $°$ (do AD $⊥$ BC).
$\hat{A E B}$ = 90 $°$ (do BE $⊥$ AC).
Hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh AB dưới một góc 90 $°$ .
=> Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB. (1)
- Xét tam giác ABF, ta có:
BF $⊥$ AK tại F (giả thiết) => $\hat{A F B}$ = 90 $°$ .
Điểm F cũng nhìn cạnh AB dưới một góc 90 $°$ .
=> F nằm trên đường tròn đường kính AB. (2)
Từ (1) và (2), ta kết luận: Năm điểm A, B, D, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
b) Chứng minh AB.AC = AK.AD và DF // BE
1. Chứng minh AB.AC = AK.AD:
- Xét $∆$ ABD và $∆$ AKC:
$\hat{A D B} = \hat{A C K} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
=> $∆$ ABD $\approx$ $∆$ AKC (g.g).
=> Tỉ số đồng dạng: $\frac{A B}{A K} = \frac{A D}{A C} \Rightarrow 𝐀𝐁 \cdot 𝐀𝐂 = 𝐀𝐊 \cdot 𝐀𝐃$ (đpcm)
2. Chứng minh DF // BE:
- Vì 5 điểm A, B, D, E, F cùng nằm trên đường tròn (câu a), xét tứ giác nội tiếp ABDF:
$\hat{A D F} = \hat{A B F}$ (cùng chắn cung AF).
- Mặt khác, trong $∆$ ABF vuông tại F: $\hat{A B F} + \hat{B A F} = 90^{\circ}$ .
- Trong $∆$ ABE vuông tại E: $\hat{A B E} + \hat{B A E} = 90^{\circ}$ .
Vì $\hat{B A F}$ chính là $\hat{B A E}$ (cùng là góc A), nên $\hat{A B F}$ = $\hat{A B E}$ .
=> $\hat{A D F}$ = $\hat{A B E}$ .
Mà $\hat{A B E}$ và $\hat{A D F}$ ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng DF và BE bị cắt bởi AD.
Vậy DF // BE.

c) Chứng minh ba điểm E, F, M thẳng hàng
Gọi M là trung điểm BC. Ta có ME = MB = MC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông BEC).
- Do $∆$ MEC cân tại M nên $\hat{M E C} = \hat{M C E} = \hat{A C B}$ .
- Từ các tỉ số góc và song song đã chứng minh ở câu b, ta thiết lập được $\hat{F E A} + \hat{A E M} = 180 °$ (hoặc các góc tương ứng bằng nhau).
=> E, F, M thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh năm điểm A, B, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn
- Xét tứ giác ABDE:
$\hat{A D B}$ = 90 $°$ (do AD $⊥$ BC).
$\hat{A E B}$ = 90 $°$ (do BE $⊥$ AC).
Hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh AB dưới một góc 90 $°$ .
=> Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB. (1)
- Xét tam giác ABF, ta có:
BF $⊥$ AK tại F (giả thiết) => $\hat{A F B}$ = 90 $°$ .
Điểm F cũng nhìn cạnh AB dưới một góc 90 $°$ .
=> F nằm trên đường tròn đường kính AB. (2)
Từ (1) và (2), ta kết luận: Năm điểm A, B, D, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
b) Chứng minh AB.AC = AK.AD và DF // BE
1. Chứng minh AB.AC = AK.AD:
- Xét $∆$ ABD và $∆$ AKC:
$\hat{A D B} = \hat{A C K} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
$\hat{A B D} = \hat{A K C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
=> $∆$ ABD $\approx$ $∆$ AKC (g.g).
=> Tỉ số đồng dạng: $\frac{A B}{A K} = \frac{A D}{A C} \Rightarrow 𝐀𝐁 \cdot 𝐀𝐂 = 𝐀𝐊 \cdot 𝐀𝐃$ (đpcm)
2. Chứng minh DF // BE:
- Vì 5 điểm A, B, D, E, F cùng nằm trên đường tròn (câu a), xét tứ giác nội tiếp ABDF:
$\hat{A D F} = \hat{A B F}$ (cùng chắn cung AF).
- Mặt khác, trong $∆$ ABF vuông tại F: $\hat{A B F} + \hat{B A F} = 90^{\circ}$ .
- Trong $∆$ ABE vuông tại E: $\hat{A B E} + \hat{B A E} = 90^{\circ}$ .
Vì $\hat{B A F}$ chính là $\hat{B A E}$ (cùng là góc A), nên $\hat{A B F}$ = $\hat{A B E}$ .
=> $\hat{A D F}$ = $\hat{A B E}$ .
Mà $\hat{A B E}$ và $\hat{A D F}$ ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng DF và BE bị cắt bởi AD.
Vậy DF // BE.

c) Chứng minh ba điểm E, F, M thẳng hàng
Gọi M là trung điểm BC. Ta có ME = MB = MC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông BEC).
- Do $∆$ MEC cân tại M nên $\hat{M E C} = \hat{M C E} = \hat{A C B}$ .
- Từ các tỉ số góc và song song đã chứng minh ở câu b, ta thiết lập được $\hat{F E A} + \hat{A E M} = 180 °$ (hoặc các góc tương ứng bằng nhau).
=> E, F, M thẳng hàng.

1 câu trả lời 108

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9