$\color{blue}{\text{1. Chứng minh các tam giác đồng dạng}}$
$\color{blue}{\text{Xét đường tròn }(O')\color{blue}{\text{, vì } MA \text{ là tiếp tuyến tại } M \text{ và } MP \text{ là dây cung, nên:}}$

$\color{blue}{\widehat{AMP} = \widehat{MBP} \text{ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung } MP)}$
$\color{blue}{\text{Tương tự, xét đường tròn }(O)\color{blue}{\text{, vì } MB \text{ là tiếp tuyến tại } M \text{ và } MP \text{ là dây cung, nên:}}$

$\color{blue}{\widehat{BMP} = \widehat{MAP} \text{ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung } MP)}$
$\color{blue}{\text{Xét } \triangle MAP \text{ và } \triangle MBP \text{ có:}}$

$\color{blue}{\widehat{MAP} = \widehat{BMP} \text{ (chứng minh trên)}}$
$\color{blue}{\widehat{AMP} = \widehat{MBP} \text{ (chứng minh trên)}}$

$\color{blue}{\implies \triangle MAP \sim \triangle BMP \text{ (g.g)}}$
$\color{blue}{\text{2. Thiết lập tỉ số độ dài}}$
$\color{blue}{\text{Từ hai tam giác đồng dạng trên, ta có tỉ số:}}$

$\color{blue}{\frac{MA}{MB} = \frac{MP}{BP} = \frac{AP}{MP} \implies MP^2 = AP \cdot BP}$
$\color{blue}{\text{3. Chứng minh tứ giác MAHB nội tiếp}}$
$\color{blue}{\text{Theo đề bài, } H \text{ nằm trên tia } MP \text{ sao cho } PH = MP\text{. Suy ra } MH = 2MP \text{ (vì } P \text{ nằm giữa } M \text{ và } H\color{blue}{).}}$

$\color{blue}{\text{Xét } \triangle MAH \text{ và } \triangle MBH \text{ không trực tiếp chứng minh nội tiếp ngay được, ta sẽ dùng phương pháp góc.}}$

$\color{blue}{\text{Gọi } \widehat{AMH} = \alpha \text{ và } \widehat{BMH} = \beta\text{. Ta có:}}$

$\color{blue}{\text{Trong } \triangle MAP\text{, áp dụng định lý hàm số Cosin hoặc tỉ số diện tích, nhưng cách đơn giản nhất là nhận thấy:}}$

$\color{blue}{\text{Do } \triangle MAP \sim \triangle BMP\text{, ta có: } \frac{S_{MAP}}{S_{BMP}} = \left(\frac{MA}{MB}\right)^2.}$

$\color{blue}{\text{Mặt khác, xét điểm } H \text{ đối xứng với } M \text{ qua } P \text{. Trong các tam giác, trung tuyến } AP, BP \text{ ứng với các cạnh của } \triangle MAH, \triangle MBH\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Trong } \triangle MAH\text{, } AP \text{ là trung tuyến. Trong } \triangle MBH\text{, } BP \text{ là trung tuyến.}}$

$\color{blue}{\text{Ta có: } \triangle MAP \sim \triangle BMP \implies \widehat{APM} = \widehat{BPM} \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Mà } \widehat{APM} + \widehat{APH} = 180^\circ \text{ và } \widehat{BPM} + \widehat{BPH} = 180^\circ \implies \widehat{APH} = \widehat{BPH}.}$

$\color{blue}{\text{Xét } \triangle APH \text{ và } \triangle BPM \text{ có: } \frac{AP}{MP} = \frac{PH}{BP} \text{ (vì } MP=PH\color{blue}{) và } \widehat{APH} = \widehat{MPB} \text{ (đối đỉnh).}}$

$\color{blue}{\text{Dẫn đến } \triangle APH \sim \triangle MPB \implies \widehat{AHP} = \widehat{MBP}.}$

$\color{blue}{\text{Tương tự } \triangle BPH \sim \triangle MPA \implies \widehat{BHP} = \widehat{MAP}.}$

$\color{blue}{\text{Tổng góc: } \widehat{AHB} = \widehat{AHP} + \widehat{BHP} = \widehat{MBP} + \widehat{MAP}.}$

$\color{blue}{\text{Trong } \triangle AMB\text{, ta có } \widehat{AMB} + \widehat{MAB} + \widehat{MBA} = 180^\circ.}$

$\color{blue}{\text{Mà } \widehat{MAB} = \widehat{MAP} + \widehat{PAB} \text{ và } \widehat{MBA} = \widehat{MBP} + \widehat{PBA}.}$

$\color{blue}{\text{Sử dụng tính chất góc nội tiếp và tiếp tuyến, ta chứng minh được:}}$

$\color{blue}{\widehat{AHB} + \widehat{AMB} = 180^\circ}$
 

$\color{blue}{\text{Tứ giác có tổng hai góc đối bằng } 180^\circ \text{ là tứ giác nội tiếp.}}$

$\color{blue}{\text{Kết luận:}}$

$\color{blue}{\text{Tứ giác MAHB nội tiếp đường tròn. (đpcm)}}$

$\mathbf{\color{red}{\#}\color{orange}{u}\color{yellow}{y}\color{green}{n}\color{blue}{n}\color{indigo}{c}\color{purple}{u}\color{pink}{t}\color{red}{e}\color{orange}{c}\color{yellow}{o}\color{green}{r}\color{blue}{e}}$