Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh 4 điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn
- Vì DB là tiếp tuyến của (O) tại B nên OB $⊥$ DB
=> $\hat{O B D} = 90^{\circ}$ . Điểm B nhìn OD dưới một góc 90 $°$ .
- Vì DM là tiếp tuyến của (O) tại M nên OM $⊥$ DM
=> $\hat{O M D} = 90^{\circ}$ . Điểm M nhìn OD dưới một góc 90 $°$ .
Suy ra B và M cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
Vậy 4 điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
b) Chứng minh DC = DN
- Ta có OC $⊥$ OD (giả thiết). Xét tam giác DCN, ta cần chứng minh nó là tam giác cân tại D.
- Trong tam giác ODN vuông tại B (vì OB $⊥$ DN), ta có $\hat{D O N} + \hat{O D N} = 90^{\circ} .$
- Mà $\hat{D O C} + \hat{D O N} = \hat{C O N} = 90^{\circ}$ .
=> $\hat{D O C} = \hat{O D N}$ (cùng phụ với $\hat{D O N}$ ).
- Mặt khác, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OD là tia phân giác của $\hat{M D B}$
=> $\hat{M D O} = \hat{B D O}$ .
- Xét tam giác ODC và tam giác ODN: $\hat{D O C} = \hat{O D N}$ và $\hat{C D O} = \hat{N D O}$ . Cạnh OD chung.
Vậy $∆$ ODC = $∆$ NDO (g.c.g)
=> DC = DN (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
- Vì OC $⊥$ OD và OD là phân giác $\hat{M O B}$ , ta dễ dàng chứng minh được OC là phân giác của góc kề bù $\hat{A O M}$ . Vậy $\hat{A O C} = \hat{M O C}$ .
- Xét $∆$ AOC và $∆$ MOC, ta có:
OA = OM = R;
$\hat{A O C} = \hat{M O C}$ ;
OC chung.
=> $∆$ AOC = $∆$ MOC (c.g.c) => $\hat{O A C} = \hat{O M C} = 90^{\circ}$ .
- Vì AC $⊥$ OA tại A thuộc (O) nên AC là tiếp tuyến của (O).
d) Chứng minh B, C, I thẳng hàng|
- Kéo dài BC cắt AM tại K. Vì AC // BN (cùng vuông góc AB), theo hệ quả định lý Ta-lét: $\frac{A C}{B N} = \frac{K C}{K B}$
- Mà AC = CM và BN = CN (do các chứng minh ở trên), nên $\frac{C M}{C N} = \frac{K C}{K B} \Rightarrow M N / / B K .$
- Xét tam giác ABK có MH // AK (cùng vuông góc AB), theo định lý Ta-lét: $\frac{M H}{A K} = \frac{B H}{B A}$
- Gọi I' là giao điểm của BC và MH. Ta có $\frac{M^{'}}{A C} = \frac{B I^{'}}{B C}$ và $\frac{I^{'} H}{B N} = \frac{B I^{'}}{B C}$ .
- Từ đó suy ra $\frac{M I^{'}}{A C} = \frac{I^{'} H}{B N}$ => $\frac{M I^{'}}{I^{'} H} = \frac{A C}{B N}$ .
=> Bằng các tỉ số đồng dạng, ta chứng minh được I' trùng với trung điểm I của MH. Vậy B, C, I thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh 4 điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn
- Vì DB là tiếp tuyến của (O) tại B nên OB $⊥$ DB
=> $\hat{O B D} = 90^{\circ}$ . Điểm B nhìn OD dưới một góc 90 $°$ .
- Vì DM là tiếp tuyến của (O) tại M nên OM $⊥$ DM
=> $\hat{O M D} = 90^{\circ}$ . Điểm M nhìn OD dưới một góc 90 $°$ .
Suy ra B và M cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
Vậy 4 điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OD.
b) Chứng minh DC = DN
- Ta có OC $⊥$ OD (giả thiết). Xét tam giác DCN, ta cần chứng minh nó là tam giác cân tại D.
- Trong tam giác ODN vuông tại B (vì OB $⊥$ DN), ta có $\hat{D O N} + \hat{O D N} = 90^{\circ} .$
- Mà $\hat{D O C} + \hat{D O N} = \hat{C O N} = 90^{\circ}$ .
=> $\hat{D O C} = \hat{O D N}$ (cùng phụ với $\hat{D O N}$ ).
- Mặt khác, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OD là tia phân giác của $\hat{M D B}$
=> $\hat{M D O} = \hat{B D O}$ .
- Xét tam giác ODC và tam giác ODN: $\hat{D O C} = \hat{O D N}$ và $\hat{C D O} = \hat{N D O}$ . Cạnh OD chung.
Vậy $∆$ ODC = $∆$ NDO (g.c.g)
=> DC = DN (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
- Vì OC $⊥$ OD và OD là phân giác $\hat{M O B}$ , ta dễ dàng chứng minh được OC là phân giác của góc kề bù $\hat{A O M}$ . Vậy $\hat{A O C} = \hat{M O C}$ .
- Xét $∆$ AOC và $∆$ MOC, ta có:
OA = OM = R;
$\hat{A O C} = \hat{M O C}$ ;
OC chung.
=> $∆$ AOC = $∆$ MOC (c.g.c) => $\hat{O A C} = \hat{O M C} = 90^{\circ}$ .
- Vì AC $⊥$ OA tại A thuộc (O) nên AC là tiếp tuyến của (O).
d) Chứng minh B, C, I thẳng hàng|
- Kéo dài BC cắt AM tại K. Vì AC // BN (cùng vuông góc AB), theo hệ quả định lý Ta-lét: $\frac{A C}{B N} = \frac{K C}{K B}$
- Mà AC = CM và BN = CN (do các chứng minh ở trên), nên $\frac{C M}{C N} = \frac{K C}{K B} \Rightarrow M N / / B K .$
- Xét tam giác ABK có MH // AK (cùng vuông góc AB), theo định lý Ta-lét: $\frac{M H}{A K} = \frac{B H}{B A}$
- Gọi I' là giao điểm của BC và MH. Ta có $\frac{M^{'}}{A C} = \frac{B I^{'}}{B C}$ và $\frac{I^{'} H}{B N} = \frac{B I^{'}}{B C}$ .
- Từ đó suy ra $\frac{M I^{'}}{A C} = \frac{I^{'} H}{B N}$ => $\frac{M I^{'}}{I^{'} H} = \frac{A C}{B N}$ .
=> Bằng các tỉ số đồng dạng, ta chứng minh được I' trùng với trung điểm I của MH. Vậy B, C, I thẳng hàng.

1 câu trả lời 126

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9