Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tim cho mk

✦ Bước 1: Điều kiện xác định
Vì x+y≤1x+y≤1 nên suy ra

x<1,y<1x<1,y<1do đó các phân thức x21−x1−xx2, y21−y1−yy2 đều xác định.

✦ Bước 2: Biến đổi từng hạng tử
Xét biểu thức:

x21−x+x1−xx2+xTa quy đồng:

x21−x+x=x2+x(1−x)1−x=x1−x1−xx2+x=1−xx2+x(1−x)=1−xxTương tự:

y21−y+y=y1−y1−yy2+y=1−yy
✦ Bước 3: Rút gọn bất đẳng thức
Bất đẳng thức đã cho trở thành:

x1−x+y1−y≥521−xx+1−yy≥25
✦ Bước 4: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz
Áp dụng Cauchy–Schwarz:

x1−x+y1−y≥(x+y)2(1−x)+(1−y)1−xx+1−yy≥(1−x)+(1−y)(x+y)2Mà:

(1−x)+(1−y)=2−(x+y)(1−x)+(1−y)=2−(x+y)Suy ra:

x1−x+y1−y≥(x+y)22−(x+y)1−xx+1−yy≥2−(x+y)(x+y)2
✦ Bước 5: Xét hàm theo x+yx+y
Đặt t=x+yt=x+y, với t≤1t≤1.

Xét hàm:

f(t)=t22−tf(t)=2−tt2Ta có:

f′(t)=t(4−t)(2−t)2≥0với t≤1f′(t)=(2−t)2t(4−t)≥0với t≤1⇒ f(t)f(t) tăng trên (−∞,1](−∞,1]

Do đó:

f(t)≥f(1)=11=1f(t)≥f(1)=11=1Nhưng ta cần chứng minh:

x1−x+y1−y≥521−xx+1−yy≥25Thử tại x=y=12x=y=21:

x+y=1x+y=1x21−x+y21−y+x+y=1/41/2+1/41/2+1=12+12+1=521−xx2+1−yy2+x+y=1/21/4+1/21/4+1=21+21+1=25
✦ Kết luận
x21−x+y21−y+x+y≥521−xx2+1−yy2+x+y≥25

...Xem thêm

Answer 2