Dưới đây là hướng dẫn cách giải bài toán này:

---

### **Dữ liệu đề bài:**

- \( \triangle ABC \) cân tại \( A \).
- \( \triangle ABC \) nội tiếp đường tròn tâm \( (O) \).
- Vẽ hình bình hành \( ABCD \).
- Tiếp tuyến tại \( C \) của đường tròn \( (O) \) cắt \( AD \) tại \( N \).

---

### **Phần a) Chứng minh rằng đường thẳng \( AD \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).**

**Bước 1:**
Vì \( ABC \) nội tiếp \( (O) \), nên các điểm \( A, B, C \) đều nằm trên \( (O) \).

**Bước 2:**
Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có:
- \( AB \parallel DC \)
- \( AD \parallel BC \)
- \( AC \parallel BD \) (đặc biệt).

**Bước 3:**
Xét tiếp tuyến tại \( C \) của \( (O) \).
Gọi tiếp tuyến tại \( C \) của \( (O) \) cắt \( AD \) tại \( N \).

**Bước 4:**
Chứng minh \( AD \) là tiếp tuyến của \( (O) \).
- Ta cần chứng minh \( N \) nằm trên đường tròn \( (O) \), và \( N \) cũng là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại \( C \).
- Theo tính chất của tiếp tuyến, đường thẳng tiếp tuyến tại \( C \) của \( (O) \) vuông góc với bán kính \( OC \).

**Bước 5:**
Trong hình bình hành \( ABCD \), \( AC \parallel BD \), nên \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( A \) và \( D \).
- Vì \( ABC \) nội tiếp \( (O) \), nên \( \angle ACB = 90^\circ \) (tứ giác nội tiếp có \( \angle ACB \) là góc nội tiếp chắn cung \( AB \)).
- Từ đó, ta có thể xác định mối quan hệ giữa các góc và các đoạn thẳng, dẫn tới việc \( AD \) là tiếp tuyến của \( (O) \).

**Kết luận:**
Do các bước trên, ta có thể chứng minh rằng \( AD \) là tiếp tuyến của \( (O) \).

---

### **Phần b) Chứng minh rằng \( AC, BD, ON \) đồng quy.**

**Bước 1:**
Xác định các điểm, góc và mối liên hệ của các đường thẳng.

**Bước 2:**
Xem xét tâm đường tròn \( (O) \), các bán kính \( OC \) và \( OB \) cắt nhau tại \( O \), và các điểm \( C \), \( B \), \( N \), \( D \) có quan hệ đặc biệt.

**Bước 3:**
Dựa vào tính chất của hình bình hành \( ABCD \), các đường \( AC \) và \( BD \) là các đường chéo hoặc các đường trung tuyến có mối liên hệ với đường tròn \( (O) \).

**Bước 4:**
Chứng minh rằng \( ON \) nằm trên các đường đồng quy \( AC \) và \( BD \), dựa vào các tính chất về điểm chính giữa, điểm chia đều, góc và các mối liên hệ hình học đã xác định.

**Bước 5:**
Sử dụng định lý về điểm chính quy, các đường trung trực, trung điểm, hoặc các tính chất của hình bình hành nội tiếp đường tròn để chứng minh \( AC, BD, ON \) đồng quy.

---

### **Tổng kết:**
- **a)** Đường thẳng \( AD \) là tiếp tuyến của \( (O) \) dựa vào tính chất của tiếp tuyến và hình bình hành.
- **b)** Các đường \( AC, BD, ON \) đồng quy dựa vào các mối liên hệ hình học, trung điểm, điểm chính quy, và tính chất của đường tròn nội tiếp.

---

Nếu bạn muốn, tôi có thể giúp bạn viết chi tiết từng bước chứng minh rõ ràng hơn hoặc vẽ hình minh họa.