Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Có E là trung điểm BC

Suy ra OE $⊥$ BC (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Suy ra tam giác OEC vuông tại E

Suy ra 3 điểm O, E, C thuộc đường tròn đường kính OC (1)

Có tam giác OMC vuông tại M (vì AB $⊥$ CD tại M)

Suy ra 3 điểm O, M, C thuộc đường tròn đường kính OC (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm O, M, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính OC

b) Tam giác BOC cân tại O có ME vừa là đường trung tuyến

Suy ra OE cũng là phân giác góc COB

Suy ra $\hat{C O E} = \hat{E O B}$

Xét tam giác OCN VÀ OBN có:

\hat{C O E} = \hat{B O E}

(cmt)

ON cạnh chung

OB = OC (= R)

Nên

△

CON =

△

BON (c.g.c)

Suy ra

\hat{O C N} = \hat{O B N} = 90 °

Suy ra CN là tiếp tuyến của (O)

...Xem thêm

Answer 2

a) Có E là trung điểm BC

Suy ra OE $⊥$ BC (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Suy ra tam giác OEC vuông tại E

Suy ra 3 điểm O, E, C thuộc đường tròn đường kính OC (1)

Có tam giác OMC vuông tại M (vì AB $⊥$ CD tại M)

Suy ra 3 điểm O, M, C thuộc đường tròn đường kính OC (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm O, M, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính OC

b) Tam giác BOC cân tại O có ME vừa là đường trung tuyến

Suy ra OE cũng là phân giác góc COB

Suy ra $\hat{C O E} = \hat{E O B}$

Xét tam giác OCN VÀ OBN có:

\hat{C O E} = \hat{B O E}

(cmt)

ON cạnh chung

OB = OC (= R)

Nên

△

CON =

△

BON (c.g.c)

Suy ra

\hat{O C N} = \hat{O B N} = 90 °

Suy ra CN là tiếp tuyến của (O)

Answer 3

Chào bạn, đây là một bài toán hình học lớp 9 rất thú vị về đường tròn và tiếp tuyến. Chúng ta cùng nhau giải quyết từng câu một nhé!

Dưới đây là hình vẽ minh họa để bạn dễ hình dung:

a) Chứng minh các điểm O, M, C, E cùng thuộc một đường tròn
Để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, cách đơn giản nhất là chứng minh chúng cùng nhìn một cạnh dưới một góc $90^\circ$.

Xét điểm M: Theo giả thiết, dây $CD \perp OA$ tại $M$, nên $\widehat{OMC} = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là điểm $M$ thuộc đường tròn đường kính $OC$.
Xét điểm E: * Xét tam giác $ABC$ có $O$ là trung điểm của $AB$ (vì $AB$ là đường kính), và $E$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

Do đó, $OE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
Suy ra $OE // AC$.
Mặt khác, $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì $OE // AC$ và $AC \perp BC$ nên $OE \perp BC$ tại $E$. Suy ra $\widehat{OEC} = 90^\circ$.
Kết luận: Cả hai điểm $M$ và $E$ cùng nhìn đoạn $OC$ dưới một góc $90^\circ$. Vậy 4 điểm $O, M, C, E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OC$.

b) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Để chứng minh $NC$ là tiếp tuyến, ta cần chứng minh $NC \perp OC$ tại $C$ (tức là $\widehat{OCN} = 90^\circ$).

Xét tam giác $OBC$: Có $OB = OC = R$ nên tam giác $OBC$ cân tại $O$.
Xét đường trung trực: Trong tam giác cân $OBC$, ta đã chứng minh $OE \perp BC$ ở câu (a). Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là đường phân giác. Do đó, $OE$ là tia phân giác của góc $\widehat{BOC}$. Suy ra:

$\widehat{COE} = \widehat{BOE} \quad (\text{hay } \widehat{CON} = \widehat{BON})$
Xét hai tam giác $\triangle OCN$ và $\triangle OBN$:

$OC = OB = R$
$\widehat{CON} = \widehat{BON}$ (chứng minh trên)
$ON$ là cạnh chung.
Kết luận: $\triangle OCN = \triangle OBN$ (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Suy ra $\widehat{OCN} = \widehat{OBN}$.
Mà $BN$ là tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{OBN} = 90^\circ$.
Do đó $\widehat{OCN} = 90^\circ \Rightarrow NC \perp OC$.
Vậy $NC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Bạn có cần mình giải thích thêm về tính chất "đường trung bình" hay "góc nội tiếp chắn nửa đường tròn" không?

...Xem thêm

Answer 4