Dưới đây là lời giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I
Xét các tam giác vuông:

Vì $BE$ là đường cao của $\triangle ABC \implies BE \perp AC \implies \angle AEH = 90^\circ$. Do đó, $\triangle AEH$ vuông tại $E$.
Vì $CF$ là đường cao của $\triangle ABC \implies CF \perp AB \implies \angle AFH = 90^\circ$. Do đó, $\triangle AFH$ vuông tại $F$.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:

Trong $\triangle AEH$ vuông tại $E$, có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $AH$. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền: $IE = IA = IH = \frac{1}{2}AH$.
Tương tự, trong $\triangle AFH$ vuông tại $F$, có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $AH$: $IF = IA = IH = \frac{1}{2}AH$.
Kết luận:

Ta có $IA = IE = IH = IF$.
Vậy 4 điểm $A, E, H, F$ cùng nằm trên đường tròn tâm $I$, bán kính $R = \frac{AH}{2}$. Hay tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I$ đường kính $AH$.

b) Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Để chứng minh $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$, ta cần chứng minh $ME \perp IE$ tại $E$ (tức là $\angle MEI = 90^\circ$).

Phân tích góc:

Ta có: $\angle MEI = \angle MEB + \angle BEI$.
Xét $\triangle IEH$:

Vì $IE = IH$ (cmt) nên $\triangle IEH$ cân tại $I \implies \angle IEH = \angle IHE$.

Mà $\angle IHE = \angle BHD$ (đối đỉnh, với $D$ là chân đường cao từ $A$). Trong $\triangle BHD$ vuông tại $D$, ta có $\angle BHD + \angle HBD = 90^\circ$.

$\implies \angle IEH = 90^\circ - \angle HBD$ (1).
Xét $\triangle MEC$:

Trong $\triangle BEC$ vuông tại $E$, $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$.

Theo tính chất đường trung tuyến: $ME = MB = MC = \frac{1}{2}BC$.

Vì $ME = MC \implies \triangle MEC$ cân tại $M \implies \angle MEC = \angle MCE$ (hay $\angle ACB$).

Trong $\triangle B C E$ vuông tại $E$, ta có $\angle MCE + \angle CBE = 90^\circ \implies \angle MCE = 90^\circ - \angle HBD$ (vì $\angle CBE$ chính là $\angle HBD$).

$\implies \angle MEC = 90^\circ - \angle HBD$ (2).
Kết nối các góc:

Từ (1) và (2) ta thấy việc cộng góc trực tiếp hơi phức tạp, hãy thử cách cộng góc phụ:

Trong $\triangle IEH$ cân tại $I$: $\angle IEH = \angle IHE$.
Trong $\triangle MEC$ cân tại $M$: $\angle MEC = \angle MCE$.
Mà $\angle IHE + \angle MCE = \angle BHD + \angle C = 90^\circ$ (do $\triangle ADC$ vuông tại $D$).
Xét $\angle MEI = \angle MEH + \angle HEI$. Lưu ý rằng $\angle MEH = 90^\circ - \angle MEC = 90^\circ - \angle C$.
Vậy $\angle MEI = (90^\circ - \angle C) + \angle IHE = (90^\circ - \angle C) + (90^\circ - \angle HBD)$...
Cách trình bày ngắn gọn nhất:

$\triangle IEH$ cân tại $I \implies \angle IEH = \angle IHE$.
$\triangle MEC$ cân tại $M \implies \angle MEC = \angle BCE$.
$\angle MEI = \angle MEB + \angle BEI$.
Ta có $\angle BEI = 180^\circ - 2\angle IEH$ (không khả thi).
Hãy xét: $\angle MEI = \angle M E B + \angle B E I$.
Vì $IE = IA \implies \triangle IEA$ cân tại $I \implies \angle IEA = \angle IAE$.
Vì $ME = MC \implies \triangle MEC$ cân tại $M \implies \angle MEC = \angle MCE$.
Ta có: $\angle IEA + \angle MEC = \angle IAE + \angle MCE = \angle DAC + \angle BCA = 90^\circ$ (vì $\triangle ADC$ vuông tại $D$).
Vì $E$ nằm trên đường thẳng $AC$, nên $\angle IEA + \angle IE M + \angle MEC = 180^\circ$ là sai. Thực tế, $A, E, C$ thẳng hàng nên $\angle IEA + \angle IEM + \angle MEC = 180^\circ$ không đúng vì $IE$ và $ME$ là các tia.
Chốt lại: $\angle IEM = \angle AEC - (\angle IEA + \angle MEC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Kết luận: Vì $\angle MEI = 90^\circ$ nên $ME \perp IE$. Vậy $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.