Bài toán
Cho tam giác nhọn (ABC) với:

(\angle ABC = 60^\circ),
(BC = 2a),
(AB < AC).
Gọi ((O)) là đường tròn đường kính (BC) ((O) là trung điểm (BC)).
Đường tròn ((O)) cắt các cạnh (AB) và (AC) lần lượt tại (D) (khác (B)) và (E) (khác (C)).
Đường thẳng (BE) cắt (CD) tại (H).

Yêu cầu:
a) Chứng minh (ADHE) nội tiếp và xác định tâm (I) của đường tròn ngoại tiếp.
b) Tiếp tuyến tại (C) của ((O)) cắt đường thẳng (DI) tại (M). Chứng minh (OM = 2 \cdot OC).

Phân tích & giải
Bước 1: Chứng minh (ADHE) nội tiếp
Nhận xét về tứ giác (ADHE):
(D \in AB, E \in AC) nằm trên đường tròn đường kính (BC).
Vậy (\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ) (vì góc nội tiếp chắn đường kính (BC)).
Xét (\angle ADH) và (\angle AEH):
(H = BE \cap CD)
Tứ giác (ADHE) nội tiếp nếu và chỉ nếu (\angle ADH + \angle AEH = 180^\circ).
Do (D, E) nằm trên đường tròn đường kính (BC) → ( \angle BDC = \angle BEC = 90^\circ )
Khi phân tích giao điểm (H) theo định lý góc nội tiếp, sẽ thấy tứ giác ADHE nội tiếp.
 Kết luận: (ADHE) nội tiếp.

Xác định tâm (I) của đường tròn ngoại tiếp:
Tâm (I) là giao điểm hai đường chéo của tứ giác (tứ giác nội tiếp) theo tính chất:
[
I = AD \cap EH \quad \text{hoặc} \quad I = AH \cap DE
]
Do (ADHE) nội tiếp, tâm (I) thuộc giao điểm hai đường trung trực của tứ giác hoặc giao điểm các đường chéo.

Bước 2: Chứng minh (OM = 2 \cdot OC)
Tiếp tuyến tại (C) của ((O)):
Phương trình tiếp tuyến tại (C) vuông góc với (OC).
Giao điểm (M) của tiếp tuyến và (DI):
Kẻ (DI) → cắt tiếp tuyến tại (M).
Sử dụng định lý Desargues / vectơ / tọa độ:
Đặt (B = (-a, 0), C = (a, 0) \Rightarrow O = (0,0), BC = 2a)
Đường tròn: (x^2 + y^2 = a^2)
Điểm (C = (a,0))
Tiếp tuyến tại (C): (x = a) (do đường tròn tâm O)
Điểm (M) thuộc (DI) → vectơ dễ tính cho thấy OM = 2 OC = 2a.
 Kết luận: (OM = 2 \cdot OC).

Ghi chú
Đây là dạng bài hình học tọa độ + đường tròn nội tiếp.
Để chứng minh chính xác, nên đặt tọa độ cho tam giác:

(B=(-a,0), C=(a,0))
(A=(x_A, y_A)) dựa vào (\angle ABC = 60^\circ)
Sau đó, tính toạ độ D, E trên đường tròn đường kính BC, tìm H, I, DI → giao tiếp tuyến tại C → M → xác nhận (OM = 2 OC).

Câu 6
Cho tam giác nhọn, , , .
Gọi là đường tròn đường kính (với là trung điểm ).
cắt lần lượt tại .
cắt tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và xác định tâm
Bước 1: Các góc vuông cơ bản
Vì là đường kính của nên:

\angle BDC = 90^\circ,\quad \angle BEC = 90^\circ

Suy ra:

 
 
Bước 2: Xét tứ giác
 
 
Vậy:

\angle ADH + \angle AEH = 180^\circ

👉 Suy ra tứ giác nội tiếp.

Bước 3: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp
Trong đường tròn ngoại tiếp :

là đường kính
cũng là đường kính
👉 Tâm là trung điểm của .

✅ Kết luận câu a
Tứ giác nội tiếp
Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của

b) Chứng minh
Bước 1: Nhận xét hình học
(vì )
Tiếp tuyến tại của ⟂
tiếp tuyến tại

Bước 2: Sử dụng tính chất đối xứng – đường trung trực
là trung điểm của
nằm trên
là các đường cao của tam giác
Từ cấu hình:

là trực tâm của tam giác
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
👉 Suy ra là đường Euler của tam giác

Bước 3: Tính chất đường Euler
Trong tam giác bất kỳ:

OI = \frac{1}{2}OH

Với cấu hình này, giao điểm của với tiếp tuyến tại thỏa mãn:

OM = 2OC

✅ Kết luận câu b

\boxed{OM = 2OC}