Đây là một bài toán hình học về đường tròn rất hay và chặt chẽ. Tôi sẽ giúp em chứng minh từng phần một.

📜 Tóm tắt Giả thiết
Đường tròn $(O)$, đường kính $AB = 2R$. $OA = OB = OC = R$.
$Ax$ là tiếp tuyến tại $A \implies Ax \perp AB$ tại $A$.
$MA, MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M \implies MA = MC$ và $OM$ là tia phân giác của $\angle AOC$.
$CH \perp AB$ tại $H$.
$MB$ cắt $(O)$ tại $Q$ và cắt $CH$ tại $N$.
$MO$ cắt $AC$ tại $I$.

a) Chứng minh $OI \cdot OM = R^2$
Chứng minh $OM \perp AC$:

Xét $\triangle OAC$ có $OA = OC = R$ (bán kính). $\triangle OAC$ là tam giác cân tại $O$.
$OM$ là tia phân giác của góc ở đỉnh $\angle AOC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Trong tam giác cân $\triangle OAC$, đường phân giác $OI$ đồng thời là đường cao.
Vậy $OM \perp AC$ tại $I$.
Áp dụng hệ thức lượng:

Xét $\triangle OAM$ vuông tại $A$ ($MA$ là tiếp tuyến tại $A$), có $AI$ là đường cao ứng với cạnh huyền $OM$ (vì $I$ nằm trên $OM$ và $AI \perp OM$).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAM$:

$OA^2 = OI \cdot OM$
Mà $OA = R$ (bán kính).

$R^2 = OI \cdot OM$
Kết luận: $OI \cdot OM = R^2$.

b) Chứng minh $M, Q, I, A$ cùng thuộc một đường tròn
Để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh hai điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc bằng nhau (hoặc hai góc đối có tổng bằng $180^\circ$).

Chứng minh $\angle MIA = 90^\circ$:

Theo chứng minh ở câu (a), ta có $OM \perp AC$ tại $I$.
Suy ra $\angle MIA = 90^\circ$.
Chứng minh $\angle MQA = 90^\circ$:

Vì $Q$ nằm trên đường tròn $(O)$ và $AB$ là đường kính, nên $\angle AQB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Suy ra $\angle AQB = 90^\circ$.
Mặt khác, $M, Q, B$ thẳng hàng (vì $Q$ là giao điểm của $MB$ và $(O)$, $M$ nằm ngoài đường tròn), nên $\angle MQA$ chính là góc $\angle BQA$.
Vậy $\angle MQA = 90^\circ$.
Kết luận:

Tứ giác $MQIA$ có $\angle MIA = 90^\circ$ và $\angle MQA = 90^\circ$.
Hai đỉnh $I$ và $Q$ cùng nhìn đoạn thẳng $MA$ dưới một góc vuông.
Điều này chứng tỏ $I$ và $Q$ nằm trên đường tròn đường kính $MA$.
Vậy bốn điểm $M, Q, I, A$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh $N$ là trung điểm $CH$
Chứng minh $CH \parallel MA$:

Ta có $CH \perp AB$ (giả thiết).
Ta có $MA \perp AB$ ($Ax$ là tiếp tuyến tại $A$).
Do đó $CH \parallel MA$ (cùng vuông góc với $AB$).
Áp dụng định lý Thales trong $\triangle MBA$:

Vì $CH \parallel MA$ và $N$ nằm trên $MB$ và $CH$, xét $\triangle MBA$ với đường cắt $CH$:

$\frac{NH}{MA} = \frac{BH}{BA} \quad (*)$
Điều kiện để $N$ là trung điểm $CH$:

$N$ là trung điểm $CH \iff NH = NC \iff \frac{NH}{CH} = \frac{1}{2} \iff CH = 2NH$.
Thay $NH$ từ $(*)$ vào: $CH = 2 \cdot \frac{MA \cdot BH}{BA}$.
Mà $BA = 2R$. Ta cần chứng minh: $CH = \frac{MA \cdot BH}{R}$, hay $R \cdot CH = MA \cdot BH$.
Sử dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $C$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $AB$).
$CH$ là đường cao. Ta có $CH^2 = AH \cdot BH$.
Cũng có $AC^2 = AH \cdot AB$ và $BC^2 = BH \cdot AB$.
Sử dụng tính chất tiếp tuyến và góc ở tâm:

$MA$ và $MC$ là tiếp tuyến, $OA \perp MA, OC \perp MC$.
Ta có $\angle MAC = \angle ACM$ (vì $MA=MC$).
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: $\angle ACM = \angle ABC$ (góc nội tiếp chắn $\stackrel\frown{AC}$).
Góc phụ trong tam giác vuông: $\angle ACH = \angle ABC$ (cùng phụ với $\angle BCH$).
Từ đó suy ra $\angle MAC = \angle ACM = \angle ABC = \angle ACH$.
Sử dụng $R \cdot CH = MA \cdot BH$ (Cách dùng lượng giác để xác minh đẳng thức):

Đặt $\angle ABC = \beta$. Khi đó $\angle AOM = \beta$.
Trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$: $MA = OA \cdot \tan(\angle AOM) = R \tan \beta$.
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$:

$BC = AB \cos \beta = 2R \cos \beta$.
Trong $\triangle BHC$ vuông tại $H$:

$BH = BC \cos \beta = (2R \cos \beta) \cos \beta = 2R \cos^2 \beta$.
$CH = BC \sin \beta = 2R \cos \beta \sin \beta$.
Thay vào biểu thức cần chứng minh $R \cdot CH = MA \cdot BH$:

$\text{VT} = R \cdot (2R \cos \beta \sin \beta) = 2R^2 \sin \beta \cos \beta$
$\text{VP} = (R \tan \beta) \cdot (2R \cos^2 \beta) = R \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \cdot 2R \cos^2 \beta = 2R^2 \sin \beta \cos \beta$
Vì $VT = VP$, đẳng thức $R \cdot CH = MA \cdot BH$ là đúng.
Kết luận:

Vì $R \cdot CH = MA \cdot BH$, nên $CH = \frac{MA \cdot BH}{R}$.
So sánh với điều kiện $(*)$ và $BA=2R$, ta có:

$CH = \frac{MA \cdot BH}{R} = 2 \cdot \frac{MA \cdot BH}{2R} = 2 \cdot \frac{MA \cdot BH}{BA} = 2 \cdot NH$
Do $CH = 2NH$, nên $N$ là trung điểm của $CH$.