Chào bạn, đây là một bài toán hình học về tiếp tuyến và dây cung của đường tròn. Tôi sẽ hướng dẫn bạn giải từng phần một cách chi tiết.

📐 Giải Bài Toán Hình Học Đường Tròn
Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 15 \, \text{cm}$. Điểm $A$ nằm ngoài đường tròn, $OA = 25 \, \text{cm}$. $AB$ là tiếp tuyến ($B$ là tiếp điểm). Dây $BC \perp OA$ tại $H$.

a) Chứng minh $OA$ là tia phân giác của góc $BOC$
Xét $\triangle OAB$:

$AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$.
Theo tính chất tiếp tuyến, ta có $OB \perp AB$ tại $B$.
Suy ra $\triangle OAB$ là tam giác vuông tại $B$.
Xét $\triangle OBC$:

Ta có $OB$ và $OC$ là bán kính của $(O)$, nên $OB = OC = R = 15 \, \text{cm}$.
Suy ra $\triangle OBC$ là tam giác cân tại $O$.
Xét đường cao $OH$:

Ta có $BC \perp OA$ tại $H$ (theo giả thiết).
Trong $\triangle OBC$ cân tại $O$, $OH$ là đường cao (vì $OH$ chứa $OA$ và $OH \perp BC$).
Theo tính chất của tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh (là $OH$) đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh $\widehat{BOC}$.
Kết luận:

$OA$ (chứa $OH$) là tia phân giác của góc $\widehat{BOC}$. (Điều phải chứng minh)

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$
Ta cần tính $AB, BC, AC$.

1. Tính độ dài $AB$:

Xét $\triangle OAB$ vuông tại $B$.
Áp dụng định lý Pythagoras: $OA^2 = OB^2 + AB^2$
$AB^2 = OA^2 - OB^2$
$AB^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$
$AB = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm}$.
2. Tính độ dài $BC$:

$BC \perp OA$ tại $H$. Trong $\triangle OBC$ cân tại $O$, $H$ là trung điểm của $BC$.
$BC = 2 \cdot BH$.
Xét $\triangle OAB$ vuông tại $B$, $BH$ là đường cao ứng với cạnh huyền $OA$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $OB \cdot AB = OA \cdot BH$
$BH = \frac{OB \cdot AB}{OA} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12 \, \text{cm}$.
$BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 12 = 24 \, \text{cm}$.
3. Tính độ dài $AC$:

$AC$ chưa thể tính ngay. Ta cần chứng minh $AC = AB$ (sẽ được chứng minh ở phần c) hoặc tính $AH$ và $HC$.
Tính $AH$: Áp dụng định lý Pythagoras trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$:

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$

$AH = \sqrt{256} = 16 \, \text{cm}$.
Tính $HC$: Áp dụng định lý Pythagoras trong $\triangle CBH$ vuông tại $H$:

$HC$ chính là $BH$ (đã tính ở trên) vì $\triangle OBC$ cân tại $O$, $H$ là trung điểm $BC$. Đây là sai lầm vì $HC$ không phải cạnh của $\triangle CBH$ (vì $BC$ là cạnh huyền của $\triangle ABH$). $HC$ là một phần của $AC$ (hoặc $BC$ là $2BH$).
Tính $AC$ theo cách khác: Ta sẽ dùng kết quả $AC=AB$ từ phần (c). Nếu chưa biết kết quả phần (c), ta phải tính $OC$ và $AH$.

$OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \, \text{cm}$.
$AH = OA - OH = 25 - 9 = 16 \, \text{cm}$.
Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$:

$AC^2 = AH^2 + HC^2 = AH^2 + BH^2$ (vì $H$ là trung điểm $BC$).

$AC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$.

$AC = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm}$.
Kết quả:

$AB = 20 \, \text{cm}$.
$BC = 24 \, \text{cm}$.
$AC = 20 \, \text{cm}$.

c) Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$
Để chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$, ta cần chứng minh $OC \perp AC$ tại $C$.

Xét $\triangle OAB$ và $\triangle OAC$:

$OB = OC = R = 15 \, \text{cm}$ (Cạnh chung - Bán kính).
$OA$ là cạnh chung.
$AB = AC = 20 \, \text{cm}$ (Đã tính ở phần b).
$\Rightarrow \triangle OAB = \triangle OAC$ (c.c.c).
Suy ra góc tương ứng:

Do $\triangle OAB = \triangle OAC$
$\Rightarrow \widehat{OCA} = \widehat{OBA}$ (Hai góc tương ứng).
Kết luận:

Vì $AB$ là tiếp tuyến tại $B$, nên $\widehat{OBA} = 90^\circ$.
$\Rightarrow \widehat{OCA} = 90^\circ$.
Hay $OC \perp AC$ tại $C$.
Vì $OC$ là bán kính của $(O)$ và $OC \perp AC$ tại $C$ nằm trên đường tròn.
$\Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $C$. (Điều phải chứng minh)