a) Chứng minh: OE⋅OM=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap R squared
𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑅2
 
Ta có MA,MBcap M cap A comma cap M cap B
𝑀𝐴,𝑀𝐵
là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R)open paren cap O ; cap R close paren
(𝑂;𝑅)
nên MA⟂OAcap M cap A ⟂ cap O cap A
𝑀𝐴⟂𝑂𝐴
và MB⟂OBcap M cap B ⟂ cap O cap B
𝑀𝐵⟂𝑂𝐵
. Do đó, tam giác OAMcap O cap A cap M
𝑂𝐴𝑀
và OBMcap O cap B cap M
𝑂𝐵𝑀
là các tam giác vuông tại Acap A
𝐴
và Bcap B
𝐵
.
OA=OBcap O cap A equals cap O cap B
𝑂𝐴=𝑂𝐵
(bán kính) và MA=MBcap M cap A equals cap M cap B
𝑀𝐴=𝑀𝐵
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra OMcap O cap M
𝑂𝑀
là đường trung trực của đoạn thẳng ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
Do đó, OM⟂ABcap O cap M ⟂ cap A cap B
𝑂𝑀⟂𝐴𝐵
tại Ecap E
𝐸
.
Xét tam giác vuông OAMcap O cap A cap M
𝑂𝐴𝑀
có đường cao AEcap A cap E
𝐴𝐸
, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OE⋅OM=OA2=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap O cap A squared equals cap R squared
𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑂𝐴2=𝑅2

(Hoặc xét tam giác vuông OBMcap O cap B cap M
𝑂𝐵𝑀
có đường cao BEcap B cap E
𝐵𝐸
, ta có OE⋅OM=OB2=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap O cap B squared equals cap R squared
𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑂𝐵2=𝑅2
). 

b) Chứng minh: Tứ giác MEHFcap M cap E cap H cap F
𝑀𝐸𝐻𝐹
nội tiếp 
Theo phần a, ta có OM⟂ABcap O cap M ⟂ cap A cap B
𝑂𝑀⟂𝐴𝐵
tại Ecap E
𝐸
, suy ra ∠MEH=∠OEH=90∘angle cap M cap E cap H equals angle cap O cap E cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝑀𝐸𝐻=∠𝑂𝐸𝐻=90∘
.
Hcap H
𝐻
là trung điểm của dây cung CDcap C cap D
𝐶𝐷
cố định, suy ra OH⟂CDcap O cap H ⟂ cap C cap D
𝑂𝐻⟂𝐶𝐷
tại Hcap H
𝐻
(đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó). Do đó, ∠MHO=∠MHF=90∘angle cap M cap H cap O equals angle cap M cap H cap F equals 90 raised to the composed with power
∠𝑀𝐻𝑂=∠𝑀𝐻𝐹=90∘
.
Tứ giác MEHFcap M cap E cap H cap F
𝑀𝐸𝐻𝐹
có: ∠MEH=90∘angle cap M cap E cap H equals 90 raised to the composed with power
∠𝑀𝐸𝐻=90∘
.
∠MHF=90∘angle cap M cap H cap F equals 90 raised to the composed with power
∠𝑀𝐻𝐹=90∘
.

Hai đỉnh E,Hcap E comma cap H
𝐸,𝐻
kề nhau cùng nhìn cạnh MFcap M cap F
𝑀𝐹
dưới một góc vuông, hoặc hai góc đối ∠MEH+∠MHF=90∘+90∘=180∘angle cap M cap E cap H plus angle cap M cap H cap F equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
∠𝑀𝐸𝐻+∠𝑀𝐻𝐹=90∘+90∘=180∘
.
Vậy tứ giác MEHFcap M cap E cap H cap F
𝑀𝐸𝐻𝐹
nội tiếp được một đường tròn. 

c) Chứng minh: Đường thẳng ABcap A cap B
𝐴𝐵
đi qua điểm cố định 
Theo phần a, ta có OE⋅OM=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap R squared
𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑅2
hay OE=R2OMcap O cap E equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap O cap M end-fraction
𝑂𝐸=𝑅2𝑂𝑀
.
Hcap H
𝐻
là trung điểm của dây CDcap C cap D
𝐶𝐷
cố định, suy ra OH⟂dcap O cap H ⟂ d
𝑂𝐻⟂𝑑
tại Hcap H
𝐻
. Do đó, Hcap H
𝐻
là một điểm cố định.
Trong tam giác vuông OHMcap O cap H cap M
𝑂𝐻𝑀
vuông tại Hcap H
𝐻
, theo định lý Pythagore, ta có OH2+HM2=OM2cap O cap H squared plus cap H cap M squared equals cap O cap M squared
𝑂𝐻2+𝐻𝑀2=𝑂𝑀2
, hay HM2=OM2−OH2cap H cap M squared equals cap O cap M squared minus cap O cap H squared
𝐻𝑀2=𝑂𝑀2−𝑂𝐻2
.
Xét hai tam giác OEHcap O cap E cap H
𝑂𝐸𝐻
và OMHcap O cap M cap H
𝑂𝑀𝐻
(chưa đồng dạng trực tiếp).
Ta cần tìm một điểm cố định mà đường thẳng ABcap A cap B
𝐴𝐵
đi qua. Gọi F′cap F prime
𝐹′
là giao điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
với OHcap O cap H
𝑂𝐻
.
Xét tam giác OMHcap O cap M cap H
𝑂𝑀𝐻
và tam giác OF′Ecap O cap F prime cap E
𝑂𝐹′𝐸
(hoặc OF′Mcap O cap F prime cap M
𝑂𝐹′𝑀
):Ta biết ∠OHM=∠OEM=90∘angle cap O cap H cap M equals angle cap O cap E cap M equals 90 raised to the composed with power
∠𝑂𝐻𝑀=∠𝑂𝐸𝑀=90∘
.
Áp dụng hệ thức lượng hoặc tính chất đồng dạng, ta có thể chứng minh △OEF′∼△OMHtriangle cap O cap E cap F prime tilde triangle cap O cap M cap H
△𝑂𝐸𝐹′∼△𝑂𝑀𝐻
. Cụ thể hơn, ta có △OEH∼△OMF′triangle cap O cap E cap H tilde triangle cap O cap M cap F prime
△𝑂𝐸𝐻∼△𝑂𝑀𝐹′
(vì ∠HOEangle cap H cap O cap E
∠𝐻𝑂𝐸
chung, ∠OHE=∠OMF′angle cap O cap H cap E equals angle cap O cap M cap F prime
∠𝑂𝐻𝐸=∠𝑂𝑀𝐹′
không đúng).
Xét △OEF′triangle cap O cap E cap F prime
△𝑂𝐸𝐹′
và △OMHtriangle cap O cap M cap H
△𝑂𝑀𝐻
: Chúng ta không có đủ yếu tố đồng dạng trực tiếp.
Quay lại kết quả từ tìm kiếm, ta có thể chứng minh △OEF∼△OMHtriangle cap O cap E cap F tilde triangle cap O cap M cap H
△𝑂𝐸𝐹∼△𝑂𝑀𝐻
, với Fcap F
𝐹
là giao điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
và MHcap M cap H
𝑀𝐻
. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh ABcap A cap B
𝐴𝐵
đi qua một điểm cố định. Điểm cố định đó thường liên quan đến Ocap O
𝑂
và dd
𝑑
.
Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc tính toán đại số: Hcap H
𝐻
cố định. Ta có MC⋅MD=MA2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap M cap A squared
𝑀𝐶⋅𝑀𝐷=𝑀𝐴2
(hệ thức tiếp tuyến và cát tuyến). MA2=OM2−OA2=OM2−R2cap M cap A squared equals cap O cap M squared minus cap O cap A squared equals cap O cap M squared minus cap R squared
𝑀𝐴2=𝑂𝑀2−𝑂𝐴2=𝑂𝑀2−𝑅2
. Vậy MC⋅MD=OM2−R2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap O cap M squared minus cap R squared
𝑀𝐶⋅𝑀𝐷=𝑂𝑀2−𝑅2
.
Lại có MC⋅MD=(MH+HC)⋅(MH−HD)cap M cap C center dot cap M cap D equals open paren cap M cap H plus cap H cap C close paren center dot open paren cap M cap H minus cap H cap D close paren
𝑀𝐶⋅𝑀𝐷=(𝑀𝐻+𝐻𝐶)⋅(𝑀𝐻−𝐻𝐷)
không đúng do C,Dcap C comma cap D
𝐶,𝐷
nằm trên đường tròn. M,C,Dcap M comma cap C comma cap D
𝑀,𝐶,𝐷
thẳng hàng. Hcap H
𝐻
là trung điểm CDcap C cap D
𝐶𝐷
. MC⋅MD=MH2−HC2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap M cap H squared minus cap H cap C squared
𝑀𝐶⋅𝑀𝐷=𝑀𝐻2−𝐻𝐶2
. HC2=OC2−OH2=R2−OH2cap H cap C squared equals cap O cap C squared minus cap O cap H squared equals cap R squared minus cap O cap H squared
𝐻𝐶2=𝑂𝐶2−𝑂𝐻2=𝑅2−𝑂𝐻2
. Vậy MC⋅MD=MH2−(R2−OH2)=MH2+OH2−R2=OM2−R2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap M cap H squared minus open paren cap R squared minus cap O cap H squared close paren equals cap M cap H squared plus cap O cap H squared minus cap R squared equals cap O cap M squared minus cap R squared
𝑀𝐶⋅𝑀𝐷=𝑀𝐻2−(𝑅2−𝑂𝐻2)=𝑀𝐻2+𝑂𝐻2−𝑅2=𝑂𝑀2−𝑅2
. Kết quả này khớp.
Trở lại với điểm cố định F′cap F prime
𝐹′
. Xét tam giác vuông OEMcap O cap E cap M
𝑂𝐸𝑀
với đường cao AEcap A cap E
𝐴𝐸
, ta có AE2=OE⋅EMcap A cap E squared equals cap O cap E center dot cap E cap M
𝐴𝐸2=𝑂𝐸⋅𝐸𝑀
.
Xét △OEHtriangle cap O cap E cap H
△𝑂𝐸𝐻
và △OMF′triangle cap O cap M cap F prime
△𝑂𝑀𝐹′
không phù hợp.
Điểm cố định mà đường thẳng ABcap A cap B
𝐴𝐵
đi qua là giao điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
với đường thẳng OHcap O cap H
𝑂𝐻
. Gọi điểm đó là Kcap K
𝐾
.
Ta có △OEK∼△OHMtriangle cap O cap E cap K tilde triangle cap O cap H cap M
△𝑂𝐸𝐾∼△𝑂𝐻𝑀
(g-g) vì có ∠EOKangle cap E cap O cap K
∠𝐸𝑂𝐾
chung (hay ∠MOKangle cap M cap O cap K
∠𝑀𝑂𝐾
), ∠OEK=∠OHM=90∘angle cap O cap E cap K equals angle cap O cap H cap M equals 90 raised to the composed with power
∠𝑂𝐸𝐾=∠𝑂𝐻𝑀=90∘
.
Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng: OEOH=OKOM⟹OE⋅OM=OH⋅OKthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap H end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap K and denominator cap O cap M end-fraction ⟹ cap O cap E center dot cap O cap M equals cap O cap H center dot cap O cap K
𝑂𝐸𝑂𝐻=𝑂𝐾𝑂𝑀⟹𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑂𝐻⋅𝑂𝐾
.
Mà theo phần a, OE⋅OM=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap R squared
𝑂𝐸⋅𝑂𝑀=𝑅2
, nên OH⋅OK=R2⟹OK=R2OHcap O cap H center dot cap O cap K equals cap R squared ⟹ cap O cap K equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap O cap H end-fraction
𝑂𝐻⋅𝑂𝐾=𝑅2⟹𝑂𝐾=𝑅2𝑂𝐻
.
Vì đường tròn (O;R)open paren cap O ; cap R close paren
(𝑂;𝑅)
cố định, đường thẳng dd
𝑑
cố định nên Hcap H
𝐻
cố định và OHcap O cap H
𝑂𝐻
không đổi.
Do đó, OK=R2OHcap O cap K equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap O cap H end-fraction
𝑂𝐾=𝑅2𝑂𝐻
là một giá trị không đổi. Kcap K
𝐾
nằm trên tia OHcap O cap H
𝑂𝐻
, cách Ocap O
𝑂
một khoảng không đổi, nên Kcap K
𝐾
là một điểm cố định.
Vậy đường thẳng ABcap A cap B
𝐴𝐵
luôn đi qua điểm Kcap K
𝐾
cố định.