a) Chứng minh: OE⋅OM=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap R squared
??⋅??=?2
 
Ta có MA,MBcap M cap A comma cap M cap B
??,??
là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R)open paren cap O ; cap R close paren
(?;?)
nên MA⟂OAcap M cap A ⟂ cap O cap A
??⟂??
và MB⟂OBcap M cap B ⟂ cap O cap B
??⟂??
. Do đó, tam giác OAMcap O cap A cap M
???
và OBMcap O cap B cap M
???
là các tam giác vuông tại Acap A
?
và Bcap B
?
.
OA=OBcap O cap A equals cap O cap B
??=??
(bán kính) và MA=MBcap M cap A equals cap M cap B
??=??
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra OMcap O cap M
??
là đường trung trực của đoạn thẳng ABcap A cap B
??
.
Do đó, OM⟂ABcap O cap M ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ecap E
?
.
Xét tam giác vuông OAMcap O cap A cap M
???
có đường cao AEcap A cap E
??
, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OE⋅OM=OA2=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap O cap A squared equals cap R squared
??⋅??=??2=?2

(Hoặc xét tam giác vuông OBMcap O cap B cap M
???
có đường cao BEcap B cap E
??
, ta có OE⋅OM=OB2=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap O cap B squared equals cap R squared
??⋅??=??2=?2
). 

b) Chứng minh: Tứ giác MEHFcap M cap E cap H cap F
????
nội tiếp 
Theo phần a, ta có OM⟂ABcap O cap M ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ecap E
?
, suy ra ∠MEH=∠OEH=90∘angle cap M cap E cap H equals angle cap O cap E cap H equals 90 raised to the composed with power
∠???=∠???=90∘
.
Hcap H
?
là trung điểm của dây cung CDcap C cap D
??
cố định, suy ra OH⟂CDcap O cap H ⟂ cap C cap D
??⟂??
tại Hcap H
?
(đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó). Do đó, ∠MHO=∠MHF=90∘angle cap M cap H cap O equals angle cap M cap H cap F equals 90 raised to the composed with power
∠???=∠???=90∘
.
Tứ giác MEHFcap M cap E cap H cap F
????
có: ∠MEH=90∘angle cap M cap E cap H equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
∠MHF=90∘angle cap M cap H cap F equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.

Hai đỉnh E,Hcap E comma cap H
?,?
kề nhau cùng nhìn cạnh MFcap M cap F
??
dưới một góc vuông, hoặc hai góc đối ∠MEH+∠MHF=90∘+90∘=180∘angle cap M cap E cap H plus angle cap M cap H cap F equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
∠???+∠???=90∘+90∘=180∘
.
Vậy tứ giác MEHFcap M cap E cap H cap F
????
nội tiếp được một đường tròn. 

c) Chứng minh: Đường thẳng ABcap A cap B
??
đi qua điểm cố định 
Theo phần a, ta có OE⋅OM=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap R squared
??⋅??=?2
hay OE=R2OMcap O cap E equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap O cap M end-fraction
??=?2??
.
Hcap H
?
là trung điểm của dây CDcap C cap D
??
cố định, suy ra OH⟂dcap O cap H ⟂ d
??⟂?
tại Hcap H
?
. Do đó, Hcap H
?
là một điểm cố định.
Trong tam giác vuông OHMcap O cap H cap M
???
vuông tại Hcap H
?
, theo định lý Pythagore, ta có OH2+HM2=OM2cap O cap H squared plus cap H cap M squared equals cap O cap M squared
??2+??2=??2
, hay HM2=OM2−OH2cap H cap M squared equals cap O cap M squared minus cap O cap H squared
??2=??2−??2
.
Xét hai tam giác OEHcap O cap E cap H
???
và OMHcap O cap M cap H
???
(chưa đồng dạng trực tiếp).
Ta cần tìm một điểm cố định mà đường thẳng ABcap A cap B
??
đi qua. Gọi F′cap F prime
?′
là giao điểm của ABcap A cap B
??
với OHcap O cap H
??
.
Xét tam giác OMHcap O cap M cap H
???
và tam giác OF′Ecap O cap F prime cap E
??′?
(hoặc OF′Mcap O cap F prime cap M
??′?
):Ta biết ∠OHM=∠OEM=90∘angle cap O cap H cap M equals angle cap O cap E cap M equals 90 raised to the composed with power
∠???=∠???=90∘
.
Áp dụng hệ thức lượng hoặc tính chất đồng dạng, ta có thể chứng minh △OEF′∼△OMHtriangle cap O cap E cap F prime tilde triangle cap O cap M cap H
△???′∼△???
. Cụ thể hơn, ta có △OEH∼△OMF′triangle cap O cap E cap H tilde triangle cap O cap M cap F prime
△???∼△???′
(vì ∠HOEangle cap H cap O cap E
∠???
chung, ∠OHE=∠OMF′angle cap O cap H cap E equals angle cap O cap M cap F prime
∠???=∠???′
không đúng).
Xét △OEF′triangle cap O cap E cap F prime
△???′
và △OMHtriangle cap O cap M cap H
△???
: Chúng ta không có đủ yếu tố đồng dạng trực tiếp.
Quay lại kết quả từ tìm kiếm, ta có thể chứng minh △OEF∼△OMHtriangle cap O cap E cap F tilde triangle cap O cap M cap H
△???∼△???
, với Fcap F
?
là giao điểm của ABcap A cap B
??
và MHcap M cap H
??
. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh ABcap A cap B
??
đi qua một điểm cố định. Điểm cố định đó thường liên quan đến Ocap O
?
và dd
?
.
Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc tính toán đại số: Hcap H
?
cố định. Ta có MC⋅MD=MA2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap M cap A squared
??⋅??=??2
(hệ thức tiếp tuyến và cát tuyến). MA2=OM2−OA2=OM2−R2cap M cap A squared equals cap O cap M squared minus cap O cap A squared equals cap O cap M squared minus cap R squared
??2=??2−??2=??2−?2
. Vậy MC⋅MD=OM2−R2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap O cap M squared minus cap R squared
??⋅??=??2−?2
.
Lại có MC⋅MD=(MH+HC)⋅(MH−HD)cap M cap C center dot cap M cap D equals open paren cap M cap H plus cap H cap C close paren center dot open paren cap M cap H minus cap H cap D close paren
??⋅??=(??+??)⋅(??−??)
không đúng do C,Dcap C comma cap D
?,?
nằm trên đường tròn. M,C,Dcap M comma cap C comma cap D
?,?,?
thẳng hàng. Hcap H
?
là trung điểm CDcap C cap D
??
. MC⋅MD=MH2−HC2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap M cap H squared minus cap H cap C squared
??⋅??=??2−??2
. HC2=OC2−OH2=R2−OH2cap H cap C squared equals cap O cap C squared minus cap O cap H squared equals cap R squared minus cap O cap H squared
??2=??2−??2=?2−??2
. Vậy MC⋅MD=MH2−(R2−OH2)=MH2+OH2−R2=OM2−R2cap M cap C center dot cap M cap D equals cap M cap H squared minus open paren cap R squared minus cap O cap H squared close paren equals cap M cap H squared plus cap O cap H squared minus cap R squared equals cap O cap M squared minus cap R squared
??⋅??=??2−(?2−??2)=??2+??2−?2=??2−?2
. Kết quả này khớp.
Trở lại với điểm cố định F′cap F prime
?′
. Xét tam giác vuông OEMcap O cap E cap M
???
với đường cao AEcap A cap E
??
, ta có AE2=OE⋅EMcap A cap E squared equals cap O cap E center dot cap E cap M
??2=??⋅??
.
Xét △OEHtriangle cap O cap E cap H
△???
và △OMF′triangle cap O cap M cap F prime
△???′
không phù hợp.
Điểm cố định mà đường thẳng ABcap A cap B
??
đi qua là giao điểm của ABcap A cap B
??
với đường thẳng OHcap O cap H
??
. Gọi điểm đó là Kcap K
?
.
Ta có △OEK∼△OHMtriangle cap O cap E cap K tilde triangle cap O cap H cap M
△???∼△???
(g-g) vì có ∠EOKangle cap E cap O cap K
∠???
chung (hay ∠MOKangle cap M cap O cap K
∠???
), ∠OEK=∠OHM=90∘angle cap O cap E cap K equals angle cap O cap H cap M equals 90 raised to the composed with power
∠???=∠???=90∘
.
Từ đó suy ra tỉ số đồng dạng: OEOH=OKOM⟹OE⋅OM=OH⋅OKthe fraction with numerator cap O cap E and denominator cap O cap H end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap K and denominator cap O cap M end-fraction ⟹ cap O cap E center dot cap O cap M equals cap O cap H center dot cap O cap K
????=????⟹??⋅??=??⋅??
.
Mà theo phần a, OE⋅OM=R2cap O cap E center dot cap O cap M equals cap R squared
??⋅??=?2
, nên OH⋅OK=R2⟹OK=R2OHcap O cap H center dot cap O cap K equals cap R squared ⟹ cap O cap K equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap O cap H end-fraction
??⋅??=?2⟹??=?2??
.
Vì đường tròn (O;R)open paren cap O ; cap R close paren
(?;?)
cố định, đường thẳng dd
?
cố định nên Hcap H
?
cố định và OHcap O cap H
??
không đổi.
Do đó, OK=R2OHcap O cap K equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap O cap H end-fraction
??=?2??
là một giá trị không đổi. Kcap K
?
nằm trên tia OHcap O cap H
??
, cách Ocap O
?
một khoảng không đổi, nên Kcap K
?
là một điểm cố định.
Vậy đường thẳng ABcap A cap B
??
luôn đi qua điểm Kcap K
?
cố định.