Phân tích và Xét các tính chất hình học
1. Xét $\triangle OAM$ (tam giác vuông tại A):

$OA = R$ (bán kính).
$OM = 2R$ (giả thiết).
Áp dụng định lý Pytago: $AM^2 = OM^2 - OA^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2$. [AM = R\sqrt{3}]
Trong $\triangle OAM$ vuông tại A, ta tính góc $\angle AOM$: [\cos(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}] Suy ra (\angle AOM = 60^\circ).
2. Tính chất của B: Vì $B$ nằm trên tia $OM$ và $OB=R$, ta có $B$ là trung điểm của $OM$ ($OB = R$, $BM = OM - OB = 2R - R = R$). Do $\angle AOM = 60^\circ$ và $OA=OB=R$, tam giác $\triangle OAB$ là tam giác đều, nên $AB=R$.

3. Tính chất của $\triangle AMC$: Do tính đối xứng qua đường thẳng $OM$ (vì $MA=MC$ và $OA=OC$), ta có:

$\triangle OCM \cong \triangle OAM$.
$\angle COM = \angle AOM = 60^\circ$.
$\angle AMC = \angle OMA + \angle OMC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$ (Sai). $\angle AMC = \angle OMA + \angle OMC$ chỉ đúng khi $O$ nằm giữa $A$ và $C$ (sai). $\angle AMC = 180^\circ - (\angle OMA + \angle OMC)$ (Sai). Do $M$ là đỉnh chung và $OM$ là trục đối xứng, $\angle AMC = 2 \cdot \angle OMA$. Trong $\triangle OAM$ vuông tại A, $\angle AMO = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Vậy, $\angle AMC = 2 \cdot \angle AMO = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Trong $\triangle AMC$, ta có $MA=MC=R\sqrt{3}$ và (\angle AMC = 60^\circ). Suy ra $\triangle AMC$ là tam giác đều. [\angle MAC = \angle MCA = 60^\circ]

Trả lời các câu hỏi
Câu hỏi 1: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OM là điểm B đúng hay sai?

Cụm từ "tam giác OM" là không hợp lý vì $O, B, M$ thẳng hàng. Ta xét hai khả năng hợp lý nhất cho tam giác liên quan đến $O, M$ và điểm $B$ trên $OM$:

Khả năng 1: Tam giác $OAM$ (Tam giác vuông tạo bởi tiếp tuyến)

$\triangle OAM$ vuông tại $A$ ($\angle OAM = 90^\circ$).
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Cạnh huyền là $OM$. Vì $OB = R$ và $OM = 2R$, $B$ chính là trung điểm của $OM$.
Kết luận (cho $\triangle OAM$): ĐÚNG.
Khả năng 2: Tam giác $OAC$ (Tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung)

Ta cần kiểm tra xem $B$ có cách đều $O, A, C$ không.
$BO = R$ (Bán kính).
$OA = R$ (Bán kính).
Ta đã chứng minh $\triangle OAB$ là tam giác đều, nên $AB = R$.
Do tính đối xứng, $\triangle OCB$ cũng là tam giác đều, nên $BC = R$.
Vì $BO = AO = CO = R$, nên $B$ cách đều $O, A, C$. $B$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle OAC$.
Kết luận (cho $\triangle OAC$): ĐÚNG.
Dựa trên phân tích, nếu đề bài muốn hỏi về tam giác $OAM$ hoặc $OAC$, câu này là ĐÚNG.

Câu hỏi 2: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMC là điểm B đúng hay sai?

Tâm đường tròn nội tiếp (incenter) là giao điểm của các đường phân giác trong. Để $B$ là tâm nội tiếp $\triangle AMC$, $AB$ phải là đường phân giác của $\angle MAC$.

Ta có $\angle MAC = 60^\circ$ (vì $\triangle AMC$ là tam giác đều).
Nếu $AB$ là đường phân giác của $\angle MAC$, ta cần $\angle MAB = \frac{\angle MAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Ta xét $\angle MAB$ trong $\triangle OAM$ và $\triangle OAB$. Vì $B$ nằm trên $OM$, nên $\angle MAB$ chính là $\angle OAM$ trừ đi $\angle OAB$ (nếu $AB$ nằm trong $\angle OAM$).

$\angle OAM = 90^\circ$.
$\triangle OAB$ là tam giác đều (do $OA=OB=AB=R$), nên $\angle OAB = 60^\circ$.
Góc $\angle MAB$ được tạo bởi $AM$ và $AB$: [\angle MAB = \angle OAM - \angle OAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ]
So sánh: Ta cần $\angle MAB = 30^\circ$ để $AB$ là phân giác. Nhưng điều kiện để $B$ là tâm nội tiếp $\triangle AMC$ (tam giác đều) là $\angle MAB = 30^\circ$ (tức là $\angle MAB = \angle CAM / 2$). Phép tính này bị sai.
Kiểm tra lại góc $\angle MAC$: Trong $\triangle AMC$ đều, $\angle MAC = 60^\circ$. Nếu $B$ là tâm nội tiếp, ta cần $\angle MAB = 30^\circ$.

Kiểm tra lại góc $\angle MAB$: Ta tính được $\angle MAB = 30^\circ$.

Vì $\angle MAB = 30^\circ$ và $\angle MAC = 60^\circ$, ta có $\angle MAB = \frac{1}{2} \angle MAC$. Do đó, $AB$ là đường phân giác của $\angle MAC$.

Tương tự, ta cần kiểm tra $CB$ có là đường phân giác của $\angle MCA$ không. Do tính đối xứng, $\angle MCB = \angle MAB = 30^\circ$. Và $\angle MCA = 60^\circ$. Vậy $\angle MCB = \frac{1}{2} \angle MCA$. Do đó, $CB$ là đường phân giác của $\angle MCA$.

Vì $AB$ và $CB$ là hai đường phân giác trong của $\triangle AMC$, giao điểm của chúng chính là tâm đường tròn nội tiếp. Giao điểm của $AB$ và $CB$ chính là $B$.

Kết luận (cho $\triangle AMC$): ĐÚNG.

Tóm tắt kết quả:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAM (hoặc OAC) là điểm B: ĐÚNG.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMC là điểm B: ĐÚNG.