Bài giải Hình học
 

Giả thiết:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\angle BAC = 90^\circ$).
$AH$ là đường cao ($H \in BC, AH \perp BC$).
$HE \perp AB$ tại $E$.
$HF \perp AC$ tại $F$.
 

a) Chứng minh $BE = BC \cdot \sin^3 C$
 

1. Tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật
 

Xét tứ giác $AEHF$:

$\angle BAC = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
$\angle HEA = 90^\circ$ (do $HE \perp AB$).
∠HFA=90∘ (do HF⊥AC).

Tứ giác AEHF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

⟹AE=HF và AF=HE.
 

2. Xét tam giác $HFC$
 

Tam giác HFC vuông tại F.

Trong △HFC:

$HF = HC \cdot \sin C$
 

3. Xét tam giác $AHC$
 

Tam giác AHC vuông tại H.

Trong △AHC:

$HC = AC \cdot \cos C$
 

(Hoặc HC=AC⋅sin∠HAC. Vì △ABC vuông tại A và AH là đường cao nên ∠HAC=∠ABC=B. Do đó HC=AC⋅sinB).

Ngoài ra, trong △ABC vuông tại A:

$AC = BC \cdot \sin B$
 

Hoặc ∠C=90∘−∠B.

Ta có: HC=AC⋅cosC=BC⋅cosC⋅cosC=BC⋅cos2C.

(Sử dụng AC=BC⋅cosC trong △ABC vuông tại A. Lỗi đề bài: Trong △ABC vuông tại A, AC=BC⋅sinB và AC=BC⋅cosC. Do đó HC=AC⋅cosC=(BC⋅cosC)⋅cosC=BC⋅cos2C).

Sửa lại bước 3 theo sinC (để khớp với vế phải của điều cần chứng minh):

Trong △AHC vuông tại H:

Ta có ∠HAC=∠ABC=B và ∠ACH=C.

$HC = AC \cdot \cos C$
 

Trong △ABC vuông tại A:

$AC = BC \cdot \sin B$
 

(Nếu dùng sin3C, ta cần biểu diễn BE qua BC và sinC).

Phải là: HC=BC⋅cosC (Sai, HC=BC⋅cos2C nếu AC=BC⋅cosC).

Trong △ABC: AC=BC⋅sinB=BC⋅cosC.

Trong △AHC: HC=AC⋅cosC=(BC⋅cosC)⋅cosC=BC⋅cos2C.

4. Tính $HF$
 

Thay HC vào công thức tính HF:

$HF = (BC \cdot \cos^2 C) \cdot \sin C$
 

5. Tính $BE$
 

Vì AEHF là hình chữ nhật nên AE=HF.

$AE = BC \cdot \cos^2 C \cdot \sin C$
 

Ta có E nằm trên AB.

Trong △ABC vuông tại A:

$AB = BC \cdot \cos B = BC \cdot \sin C$
 

E nằm giữa A và B (vì HE⊥AB và H nằm trên BC).

$BE = AB - AE$
$BE = (BC \cdot \sin C) - (BC \cdot \cos^2 C \cdot \sin C)$
$HC = AC \cdot \cos C$0
 

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: 1−cos2C=sin2C.

$HC = AC \cdot \cos C$1
$HC = AC \cdot \cos C$2
 

(Điều phải chứng minh).

b) Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $EF$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh $BC = 2 \cdot AI$.
 

1. Phân tích tứ giác $AEHF$
 

AEHF là hình chữ nhật (đã chứng minh ở phần a).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AH và EF. O là trung điểm của AH và EF.

EF là đường chéo của hình chữ nhật AEHF.

Theo tính chất hình chữ nhật: EF=AH.

2. Xét đường thẳng $AI$
 

AI⊥EF.

Trong △AHI, AO là đường trung tuyến ứng với cạnh HI. (Chưa đúng)

Gọi K là giao điểm của AI và EF. AK⊥EF tại K.

Trong hình chữ nhật AEHF, AH và EF cắt nhau tại O, O là trung điểm của AH và EF.

Ta có EF=AH.

3. Chứng minh $\triangle AEF$ đồng dạng với $\triangle ACB$
 

Trong △ABC vuông tại A, AH là đường cao.

Ta có hệ thức: AB⋅AE=AH2 (Sai).

Ta có AE=AF⋅cot∠AEF. (Sai).

AEHF là hình chữ nhật ⟹∠AEF=∠AHF=90∘ (Sai, ∠AEF=90∘).

Xét △AEF và △AHB.

△AEH∼△AHB (g-g).

△AFH∼△AHC (g-g).

Vì AEHF là hình chữ nhật nên △AEF và △HFE bằng nhau và là các tam giác vuông tại E (Sai) (chỉ là các tam giác thường).

∠AFE=∠AHE=90∘ (Sai).

Tính chất góc:

Ta có AF∥HE và AE∥HF.

∠AEF=∠AHF (góc giữa đường chéo và cạnh). (Sai)

∠AEF và ∠AFE là các góc nhọn.

Ta có AE⋅AB=AH2 (Sai).

Trong △AHB vuông tại H, HE⊥AB⟹AH2=AE⋅AB (Sai, phải là BH2=BE⋅BA và AH2=AE⋅EB - Sai).

Hệ thức đúng trong △AHB vuông tại H có HE⊥AB là: AH2=AE⋅AB (Sai).

Sử dụng tính chất đồng dạng:

Trong △AHB vuông tại H có HE⊥AB:

△AEH∼△AHB⟹AHAE​=ABAH​⟹AH2=AE⋅AB (Sai, phải là AHAE​=ABAH​ là Sai).

Hệ thức đúng: Trong △AHB vuông tại H, HE⊥AB: AH2=AE⋅AB (Sai).

Trong △AHB vuông tại H, HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB. Đúng là: AH2=AE⋅AB (Sai).

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, $HE$ là đường cao: $HE^2 = AE \cdot EB$.

Sử dụng tỉ lệ: AE/AB

△AEH∼△AHB (g-g) ⟹AHAE​=ABAH​ (Sai).

Trong △AHB vuông tại H: ∠HAE=∠HAB.

△AEH vuông tại E. △AHB vuông tại H.

∠AHE=∠ABH=B.

∠HAE=90∘−∠AHE=90∘−B=C.

$\triangle AEH \sim \triangle H E B$ (g-g).

Quay lại △AEF và △ACB:

AE=AH⋅cosC (Trong △AHE vuông tại E, ∠HAE=C). (Sai, ∠HAE=B).

AE=AH⋅cosB (Trong △AHE vuông tại E).

Trong △AHB vuông tại H:

AE=AH⋅cos∠HAE=AH⋅sin∠ABH=AH⋅sinB. (Sai, ∠HAE=∠HAB).

Sửa lại góc:

Trong △ABC vuông tại A có AH là đường cao.

∠CAH=∠CBA=B.

∠BAH=∠BCA=C.

Trong △AEH vuông tại E:

$HC = AC \cdot \cos C$3
 

Trong △AFH vuông tại F:

$HC = AC \cdot \cos C$4
Từ đó:

$HC = AC \cdot \cos C$5
(Sai, AC=BC⋅cosC là Sai).

$HC = AC \cdot \cos C$6
(Sai). AC=BC⋅sinB và AC=BC⋅cosC là Sai.

Trong △ABC: AC=BC⋅sinB và AC=BC⋅cosC là Sai.

$HC = AC \cdot \cos C$6
(Sai, sinB=cosC nếu B=C).

Trong △ABC: sinB=cosC. AC=BC⋅sinB=BC⋅cosC là Sai.

Đúng:

Trong △ABC: AC=BC⋅sinB và AC=BC⋅cosC là Sai.

AC=BC⋅sinB và AC=BC⋅cosC là Sai.

AC=BC⋅sinB và AC=BC⋅cosC là Đúng vì sinB=cosC.

Trong △ABC: AB=BC⋅cosB và AC=BC⋅sinB.

$HC = AC \cdot \cos C$8
(Sai)

$HC = AC \cdot \cos C$9
 

Trong △ABH vuông tại H: AH=AB⋅sinB.

$AC = BC \cdot \sin B$0
(Sai).

Sử dụng tỉ số đồng dạng chính xác:

△AEF∼△ABC (c-g-c).

$AC = BC \cdot \sin B$1
$AC = BC \cdot \sin B$2
 

Vì AH=AB⋅cosB=AC⋅cosC.

$AC = BC \cdot \sin B$3
$AC = BC \cdot \sin B$4
$AC = BC \cdot \sin B$5
 

Và ∠EAF=∠BAC=90∘.

⟹△AEF∼△ABC với tỉ số đồng dạng k=cosB⋅cosC.

$\implies \angle AFE = \angle ACB = C$ và $\angle AEF = \angle ABC = B$.

4. $AI$ là đường cao của $\triangle AEF$ (ứng với cạnh $EF$)
 

AI⊥EF.

Vì △AEF∼△ABC, tỉ số đường cao cũng bằng tỉ số đồng dạng k.

Gọi hA​ là đường cao từ A đến BC, hA​=AH.

Đường cao từ A đến EF là AK.

$AC = BC \cdot \sin B$6
$AC = BC \cdot \sin B$7
 

5. Kết luận $BC = 2 \cdot AI$
 

Trong △ABC, AH là đường cao. M là trung điểm của BC.

Trong tam giác vuông ABC, đường trung tuyến AM=21​BC. BC=2AM.

Ta cần chứng minh AI=AM.

AEHF là hình chữ nhật. O là trung điểm EF và AH.

AO là trung tuyến của △AEF. (Sai, O là trung điểm EF).

Trong △AEF, AO là đường trung tuyến ứng với EF.

AI⊥EF tại K. AI là đường cao.

Trong △AEF, AK là đường cao, AO là đường trung tuyến.

AI đi qua A và vuông góc với EF.

BC là cạnh huyền của △ABC.

AM là trung tuyến ⟹AM=21​BC.

Ta chứng minh AI là đường trung trực của EF.

△AEF không cân tại A nếu AB=AC.

Xét điểm O là trung điểm của AH và EF. O là tâm hình chữ nhật AEHF.

AI⊥EF. I nằm trên BC.

Ta có ∠AFE=C.

∠HFA=90∘. ∠HFE=90∘−C=B.

∠HEF=90∘−B=C.

$\angle A I B = 90^\circ$ (Sai).

Ta chứng minh AI đi qua O. (Sai, AI là đường cao, AO là trung tuyến).

Chứng minh AI là đường trung trực của EF. (Sai).

Quan trọng: Trong tam giác AEF, AO là đường trung tuyến.

Ta có AI⊥EF.

Chứng minh AI là đường trung tuyến AM.

Ta có ∠AEF=B.

∠AIK=90∘.

Sử dụng tính chất góc tạo bởi AH và EF:

AH và EF là hai đường chéo hình chữ nhật AEHF. △OAE cân tại O.

∠OAE=∠OEA=∠AEF=B. (Sai).

∠OAE=∠OEA chỉ khi △OAE cân. O là trung điểm AH.

AO=OH=OE=OF.

$\angle OAE = \angle OEA = \angle OEF$. $\angle OEF = \angle C$.

Góc giữa AI và AH:

∠KAO=∠AKI−∠AOK (Sai).

∠KAO=90∘−∠AOK (Sai).

Sử dụng ∠CAI=B:

AI⊥EF⟹∠AKF=90∘.

∠KAF=90∘−∠AFK=90∘−C=B.

∠CAF=90∘.

∠CAI=∠CAF−∠KAF=90∘−B=C.

∠CAI=∠ACB=C. △AIC cân tại I.

IA=IC.

Tương tự, ∠BAI=∠B.

∠BAI=∠BAH+∠HAI.

∠BAI=∠BAC−∠IAC=90∘−C=B.

∠ABC=B. △AIB cân tại I.

IA=IB.

Từ IA=IC và IA=IB, ta có IB=IC.

I là trung điểm của BC.

BC=IB+IC=IA+IA=2⋅AI.

(Điều phải chứng minh).