Để hiểu và giải tốt các bài toán hình học liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản, kỹ năng biến đổi và một số mẹo nhỏ. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

I. Nắm vững kiến thức cơ bản:

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn:Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, xét góc nhọn B:Sin (sinus): sin⁡B=Cạnh đoˆˊiCạnh huyeˆˋn=ACBCsinB=Cạnh huyeˆˋnCạnh đoˆˊi​=BCAC​
Cos (cosinus): cos⁡B=Cạnh keˆˋCạnh huyeˆˋn=ABBCcosB=Cạnh huyeˆˋnCạnh keˆˋ​=BCAB​
Tan (tang): tan⁡B=Cạnh đoˆˊiCạnh keˆˋ=ACABtanB=Cạnh keˆˋCạnh đoˆˊi​=ABAC​
Cot (cotang): cot⁡B=Cạnh keˆˋCạnh đoˆˊi=ABACcotB=Cạnh đoˆˊiCạnh keˆˋ​=ACAB​
2. Mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của cùng một góc nhọn:tan⁡B=sin⁡Bcos⁡BtanB=cosBsinB​
cot⁡B=cos⁡Bsin⁡BcotB=sinBcosB​
tan⁡B.cot⁡B=1tanB.cotB=1
sin⁡2B+cos⁡2B=1sin2B+cos2B=1
1+tan⁡2B=1cos⁡2B1+tan2B=cos2B1​
1+cot⁡2B=1sin⁡2B1+cot2B=sin2B1​
3. Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:Bạn cần nhớ các giá trị lượng giác của các góc 30∘30∘, 45∘45∘, 60∘60∘. Có thể lập bảng hoặc dùng bàn tay để nhớ.
II. Các bước giải bài toán hình học sử dụng tỉ số lượng giác:

1. Đọc kỹ đề bài, vẽ hình chính xác:Vẽ hình đúng theo mô tả của đề bài. Hình vẽ càng chính xác, bạn càng dễ nhận ra mối quan hệ giữa các yếu tố.
Ghi lại các dữ kiện đã cho lên hình vẽ.
2. Xác định tam giác vuông liên quan:Tìm tam giác vuông chứa góc nhọn và các cạnh liên quan đến yêu cầu của bài toán.
Nếu không có tam giác vuông, hãy tạo ra bằng cách kẻ thêm đường cao, đường vuông góc,...
3. Lựa chọn tỉ số lượng giác thích hợp:Dựa vào dữ kiện đã cho và yêu cầu của bài toán, chọn tỉ số lượng giác phù hợp để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh và góc.
Ví dụ: Nếu biết cạnh đối và cạnh huyền, hãy dùng sin⁡sin. Nếu biết cạnh kề và cạnh huyền, hãy dùng cos⁡cos.
4. Thiết lập phương trình và giải:Viết phương trình dựa trên tỉ số lượng giác đã chọn.
Thay các giá trị đã biết vào phương trình và giải để tìm ẩn số.
5. Kiểm tra lại kết quả:So sánh kết quả với hình vẽ và dữ kiện đề bài để đảm bảo tính hợp lý.
Chú ý đơn vị đo.
III. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:

1. Tính độ dài cạnh, số đo góc:Phương pháp: Áp dụng trực tiếp các tỉ số lượng giác và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, ∠B=30∘∠B=30∘, BC=10BC=10 cm. Tính AB, AC.
2. Chứng minh các hệ thức lượng giác:Phương pháp:Biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản.
Biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức.
Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác ABC vuông tại A, sin⁡2B+cos⁡2B=1sin2B+cos2B=1.
3. Các bài toán thực tế:Phương pháp:Đọc kỹ đề bài, xác định các yếu tố hình học và chuyển bài toán thực tế về bài toán hình học.
Vẽ hình minh họa.
Áp dụng các tỉ số lượng giác để giải.
Ví dụ: Một cột đèn cao 8m, bóng của cột đèn trên mặt đất dài 6m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.
IV. Mẹo và lưu ý:

1. Nhớ các tỉ số lượng giác:Sử dụng câu thần chú: "Sin đi học (đối/huyền), Cos không hư (kề/huyền), Tang đoàn kết (đối/kề), Cot kết đoàn (kề/đối)".
Lập bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
2. Luyện tập thường xuyên:Giải nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao để rèn luyện kỹ năng.
Tham khảo các bài giải mẫu và phân tích lỗi sai.
3. Sử dụng máy tính cầm tay:Biết cách sử dụng máy tính để tính giá trị lượng giác của góc và ngược lại.
4. Tư duy hình học:Phát triển khả năng quan sát, phân tích hình vẽ.
Tìm ra các mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình.
5. Không ngại hỏi:Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô, bạn bè hoặc tìm kiếm trên mạng.
V. Ví dụ minh họa:

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6AB=6 cm, ∠C=60∘∠C=60∘. Tính ACAC và BCBC.

Giải:

Hình vẽ: (Bạn tự vẽ hình tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, góc C = 60 độ)
Tam giác vuông liên quan: Tam giác ABC vuông tại A.
Tỉ số lượng giác:Ta có: tan⁡C=ABACtanC=ACAB​
Suy ra: AC=ABtan⁡C=6tan⁡60∘=63=23AC=tanCAB​=tan60∘6​=3​6​=23​ cm
Ta có: sin⁡C=ABBCsinC=BCAB​
Suy ra: BC=ABsin⁡C=6sin⁡60∘=632=43BC=sinCAB​=sin60∘6​=23​​6​=43​ cm
Kết luận: AC=23AC=23​ cm, BC=43BC=43​ cm.