Bài toán yêu cầu xác định số dãy ghế ban đầu của một phòng họp.
Tóm tắt bài toán:
Ban đầu phòng họp có 120 ghế.
Số đại biểu tăng lên 168 người, nên cần sắp xếp lại.
Việc sắp xếp lại bao gồm: kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy phải thêm 2 ghế.
Biết số ghế trong mỗi dãy ban đầu là bằng nhau.
Giải bài toán:
Gọi số dãy ghế lúc đầu là xx (dãy) và số ghế trong mỗi dãy lúc đầu là yy (ghế). Theo đề bài, ta có:
Ban đầu có 120 ghế, với số ghế trong mỗi dãy bằng nhau:xy=120xy=120Vì xx và yy là số dãy và số ghế nên x,yx,y phải là các số nguyên dương.
Sau khi kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy thêm 2 ghế, tổng số ghế là 168 (để đủ cho 168 người).
Số dãy ghế lúc sau là x+2x+2 (dãy).
Số ghế trong mỗi dãy lúc sau là y+2y+2 (ghế). Ta có phương trình:(x+2)(y+2)=168(x+2)(y+2)=168
Bây giờ ta giải hệ phương trình:{xy=120(x+2)(y+2)=168{xy=120(x+2)(y+2)=168​Từ phương trình đầu, ta có y=120xy=x120​. Thay yy vào phương trình thứ hai:(x+2)(120x+2)=168(x+2)(x120​+2)=168Khai triển phương trình:x(120x)+x(2)+2(120x)+2(2)=168x(x120​)+x(2)+2(x120​)+2(2)=168120+2x+240x+4=168120+2x+x240​+4=168124+2x+240x=168124+2x+x240​=168Chuyển 124 sang vế phải:2x+240x=168−1242x+x240​=168−1242x+240x=442x+x240​=44Nhân cả hai vế với xx (do x≠0x=0):2x2+240=44x2x2+240=44xChuyển tất cả về một vế để tạo phương trình bậc hai:2x2−44x+240=02x2−44x+240=0Chia cả hai vế cho 2 để rút gọn:x2−22x+120=0x2−22x+120=0Ta tìm hai số có tích bằng 120 và tổng bằng -22. Hai số đó là -10 và -12. Vậy, phương trình được phân tích thành:(x−10)(x−12)=0(x−10)(x−12)=0Từ đây, ta có hai trường hợp cho xx:
Trường hợp 1: x−10=0  ⟹  x=10x−10=0⟹x=10 Nếu x=10x=10, thì y=12010=12y=10120​=12. Kiểm tra: Ban đầu có 10 dãy, 12 ghế/dãy, tổng 120 ghế. Lúc sau có 10+2=1210+2=12 dãy, 12+2=1412+2=14 ghế/dãy, tổng 12×14=16812×14=168 ghế. Trường hợp này thỏa mãn.
Trường hợp 2: x−12=0  ⟹  x=12x−12=0⟹x=12 Nếu x=12x=12, thì y=12012=10y=12120​=10. Kiểm tra: Ban đầu có 12 dãy, 10 ghế/dãy, tổng 120 ghế. Lúc sau có 12+2=1412+2=14 dãy, 10+2=1210+2=12 ghế/dãy, tổng 14×12=16814×12=168 ghế. Trường hợp này cũng thỏa mãn.
Đề bài hỏi "lúc đầu phòng có bao nhiêu dãy". Cả hai giá trị x=10x=10 và x=12x=12 đều hợp lý với điều kiện bài toán. Tuy nhiên, trong các bài toán dạng này, nếu không có thêm thông tin để phân biệt, thường cả hai nghiệm đều được xem là hợp lệ. Tuy nhiên, nếu giả định có một cách sắp xếp "tự nhiên" hơn hoặc mong muốn tìm một đáp án duy nhất, ta có thể xem xét thêm.
Trong ngữ cảnh của bài toán, cả hai cách sắp xếp ban đầu đều dẫn đến kết quả hợp lý sau khi điều chỉnh. Tuy nhiên, nếu xét về cách diễn đạt "kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy phải thêm 2 ghế nữa", nó ám chỉ việc điều chỉnh cấu trúc phòng.
Với các dữ kiện đã cho, cả hai phương án ban đầu đều có thể xảy ra. Thông thường, khi gặp tình huống này, ta nên xem xét cả hai. Tuy nhiên, nếu cần một đáp án duy nhất, cần có thêm thông tin hoặc quy ước. Nhưng dựa vào cách giải phương trình, ta có 2 khả năng ban đầu.
Nếu câu hỏi chỉ yêu cầu một đáp số, thì bài toán có thể có hai đáp án khả dĩ cho số dãy ghế ban đầu: 10 hoặc 12.

Kết luận: Lúc đầu phòng họp có thể có 10 dãy ghế hoặc 12 dãy ghế.