a)
 

Đặt a=x+y1​ và b=y+1.

Hệ phương trình trở thành:

{a+3b=52a−5b=−1​
 

Từ phương trình thứ nhất, ta có a=5−3b.

Thế vào phương trình thứ hai:

2(5−3b)−5b=−110−6b−5b=−110−11b=−111b=11b=1
 

Với b=1, ta có a=5−3(1)=2.

Thay a và b trở lại:

{x+y1​=2y+1=1​
 

Từ y+1=1, ta có y=0.

Từ x+y1​=2, ta có x+y=21​.

Thế y=0 vào, ta được x+0=21​, suy ra x=21​.

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(21​;0).

b)
 

Điều kiện xác định: x=−1 và y=1.

Đặt a=x+1x​ và b=y−1y​.

Hệ phương trình trở thành:

{a−b=3a+3b=−1​
 

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

(a−b)−(a+3b)=3−(−1)−4b=4b=−1
 

Với b=−1, ta có a=3+b=3+(−1)=2.

Thay a và b trở lại:

{x+1x​=2y−1y​=−1​
 

Giải phương trình thứ nhất:

x=2(x+1)x=2x+2−x=2x=−2
 

Giải phương trình thứ hai:

y=−1(y−1)y=−y+12y=1y=21​
 

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(−2;21​).

### Lời giải

#### **Câu a: Giải hệ phương trình**
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x + y} + 3(y + 1) = 5 \\
\frac{2}{x + y} - 5(y + 1) = -1
\end{cases}
\]

**Bước 1: Đặt ẩn phụ**
Gọi \( t = x + y \), do đó \( \frac{1}{x + y} = \frac{1}{t} \), và \( \frac{2}{x + y} = \frac{2}{t} \).
Gọi \( u = y + 1 \). Khi đó, \( y = u - 1 \), và \( x + y = t \implies x = t - y = t - (u - 1) = t - u + 1 \).

Thay vào hệ phương trình, ta được:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{t} + 3u = 5 \quad (1) \\
\frac{2}{t} - 5u = -1 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình mới**
- Từ phương trình (1):
\[
\frac{1}{t} + 3u = 5 \implies \frac{1}{t} = 5 - 3u \implies t = \frac{1}{5 - 3u} \quad (3)
\]
(Lưu ý: \( 5 - 3u \neq 0 \implies u \neq \frac{5}{3} \)).

- Thay \( \frac{1}{t} = 5 - 3u \) vào phương trình (2):
\[
\frac{2}{t} = 2 \cdot (5 - 3u) = 10 - 6u
\]
\[
10 - 6u - 5u = -1
\]
\[
10 - 11u = -1
\]
\[
-11u = -11
\]
\[
u = 1
\]

- Thay \( u = 1 \) vào (3) để tìm \( t \):
\[
t = \frac{1}{5 - 3 \cdot 1} = \frac{1}{5 - 3} = \frac{1}{2}
\]

**Bước 3: Tìm \( x \) và \( y \)**
- Vì \( u = y + 1 = 1 \implies y = 1 - 1 = 0 \).
- Vì \( t = x + y = \frac{1}{2} \implies x + 0 = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{2} \).

**Bước 4: Kiểm tra**
- Thay \( x = \frac{1}{2} \), \( y = 0 \) vào hệ phương trình gốc:
- Phương trình 1:
\[
\frac{1}{\frac{1}{2} + 0} + 3(0 + 1) = \frac{1}{\frac{1}{2}} + 3 = 2 + 3 = 5 \quad \text{(thỏa mãn)}.
\]
- Phương trình 2:
\[
\frac{2}{\frac{1}{2} + 0} - 5(0 + 1) = \frac{2}{\frac{1}{2}} - 5 = 4 - 5 = -1 \quad \text{(thỏa mãn)}.
\]

**Đáp án câu a**:
\[
x = \frac{1}{2}, \quad y = 0
\]

---

#### **Câu b: Giải hệ phương trình**
\[
\begin{cases}
\frac{x}{x + 1} - \frac{y}{y - 1} = 3 \quad (1) \\
\frac{x}{x + 1} + \frac{3y}{y - 1} = -1 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Bước 1: Đặt ẩn phụ**
Gọi:
- \( t = \frac{x}{x + 1} \implies x = \frac{t}{1 - t} \) (vì \( x + 1 = \frac{x}{t} \implies x = x \cdot \frac{1}{t} - 1 \implies x - \frac{x}{t} = -1 \implies x \left(1 - \frac{1}{t}\right) = -1 \implies x = \frac{-1}{1 - \frac{1}{t}} = \frac{t}{1 - t} \)).
- \( u = \frac{y}{y - 1} \implies y = \frac{u}{1 - u} \) (tương tự).

(Lưu ý: \( x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \), và \( y - 1 \neq 0 \implies y \neq 1 \); tương ứng \( t \neq 1 \), \( u \neq 1 \)).

Thay vào hệ phương trình, ta được:
\[
\begin{cases}
t - u = 3 \quad (1') \\
t + 3u = -1 \quad (2')
\end{cases}
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình mới**
- Từ (1'):
\[
t = u + 3
\]
- Thay vào (2'):
\[
(u + 3) + 3u = -1
\]
\[
4u + 3 = -1
\]
\[
4u = -4
\]
\[
u = -1
\]
- Thay \( u = -1 \) vào \( t = u + 3 \):
\[
t = -1 + 3 = 2
\]

**Bước 3: Tìm \( x \) và \( y \)**
- Với \( t = \frac{x}{x + 1} = 2 \):
\[
\frac{x}{x + 1} = 2 \implies x = 2(x + 1) \implies x = 2x + 2 \implies x - 2x = 2 \implies -x = 2 \implies x = -2
\]
- Với \( u = \frac{y}{y - 1} = -1 \):
\[
\frac{y}{y - 1} = -1 \implies y = -1 \cdot (y - 1) \implies y = -y + 1 \implies y + y = 1 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}
\]

**Bước 4: Kiểm tra**
- Thay \( x = -2 \), \( y = \frac{1}{2} \) vào hệ phương trình gốc:
- Phương trình (1):
\[
\frac{-2}{-2 + 1} - \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-2}{-1} - \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \quad \text{(thỏa mãn)}.
\]
- Phương trình (2):
\[
\frac{-2}{-2 + 1} + \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-2}{-1} + \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 2 + \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 2 - 3 = -1 \quad \text{(thỏa mãn)}.
\]

**Đáp án câu b**:
\[
x = -2, \quad y = \frac{1}{2}
\]

---

### **Đáp án cuối cùng**
- **Câu a**: \( x = \frac{1}{2}, \ y = 0 \)
- **Câu b**: \( x = -2, \ y = \frac{1}{2} \)