Tính toán  
Tính bán kính đường tròn  
Gọi Rcap R
𝑅
là bán kính của đường tròn (O)open paren cap O close paren
(𝑂)
.
 
Gọi hh
ℎ
là khoảng cách từ tâm Ocap O
𝑂
đến dây ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
Theo đề bài, h=R2h equals the fraction with numerator cap R and denominator 2 end-fraction
ℎ=𝑅2
.
Kẻ OH⟂ABcap O cap H ⟂ cap A cap B
𝑂𝐻⟂𝐴𝐵
tại Hcap H
𝐻
. Khi đó, Hcap H
𝐻
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
, suy ra AH=AB2=92 cmcap A cap H equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator 2 end-fraction equals 9 over 2 end-fraction cm
𝐴𝐻=𝐴𝐵2=92 cm
.
 
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHAcap O cap H cap A
𝑂𝐻𝐴
: OA2=OH2+AH2cap O cap A squared equals cap O cap H squared plus cap A cap H squared
𝑂𝐴2=𝑂𝐻2+𝐴𝐻2
.
 
Thay các giá trị đã biết vào: R2=(R2)2+(92)2cap R squared equals open paren the fraction with numerator cap R and denominator 2 end-fraction close paren squared plus open paren 9 over 2 end-fraction close paren squared
𝑅2=𝑅22+922
.
 
Giải phương trình để tìm Rcap R
𝑅
: R2=R24+814cap R squared equals the fraction with numerator cap R squared and denominator 4 end-fraction plus 81 over 4 end-fraction
𝑅2=𝑅24+814
.
 
Chuyển vế: R2−R24=814cap R squared minus the fraction with numerator cap R squared and denominator 4 end-fraction equals 81 over 4 end-fraction
𝑅2−𝑅24=814
.
 
Rút gọn: 3R24=814the fraction with numerator 3 cap R squared and denominator 4 end-fraction equals 81 over 4 end-fraction
3𝑅24=814
.
 
Tìm R2cap R squared
𝑅2
: 3R2=81⇒R2=273 cap R squared equals 81 implies cap R squared equals 27
3𝑅2=81⇒𝑅2=27
.
 
Tính Rcap R
𝑅
: R=27=33 cmcap R equals the square root of 27 end-root equals 3 the square root of 3 end-root cm
𝑅=27√=33√ cm
.  
 
Tính chu vi đường tròn  
Chu vi đường tròn được tính bằng công thức C=2πRcap C equals 2 pi cap R
𝐶=2𝜋𝑅
.
 
Thay giá trị R=33cap R equals 3 the square root of 3 end-root
𝑅=33√
vào: C=2π(33)=6π3 cmcap C equals 2 pi open paren 3 the square root of 3 end-root close paren equals 6 pi the square root of 3 end-root cm
𝐶=2𝜋(33√)=6𝜋3√ cm
.  
 
 
Tính số đo góc ở tâm chắn cung nhỏ AB  
Trong tam giác vuông OHAcap O cap H cap A
𝑂𝐻𝐴
, ta có sin(∠AOH)=AHOA=9233=963=323=32sine open paren angle cap A cap O cap H close paren equals the fraction with numerator cap A cap H and denominator cap O cap A end-fraction equals the fraction with numerator 9 over 2 end-fraction and denominator 3 the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 9 and denominator 6 the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 3 and denominator 2 the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator the square root of 3 end-root and denominator 2 end-fraction
sin(∠𝐴𝑂𝐻)=𝐴𝐻𝑂𝐴=9233√=963√=323√=3√2
.
 
Suy ra ∠AOH=60∘angle cap A cap O cap H equals 60 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝑂𝐻=60∘
.
 
Góc ở tâm chắn cung ABcap A cap B
𝐴𝐵
là ∠AOB=2⋅∠AOH=2⋅60∘=120∘angle cap A cap O cap B equals 2 center dot angle cap A cap O cap H equals 2 center dot 60 raised to the exponent composed with end-exponent equals 120 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝑂𝐵=2⋅∠𝐴𝑂𝐻=2⋅60∘=120∘
.  
 
 
Tính độ dài cung nhỏ AB  
Độ dài cung nhỏ ABcap A cap B
𝐴𝐵
được tính bằng công thức L=πRn180cap L equals the fraction with numerator pi cap R n and denominator 180 end-fraction
𝐿=𝜋𝑅𝑛180
, với nn
𝑛
là số đo góc ở tâm chắn cung đó.
 
Thay các giá trị đã biết vào: L=π(33)(120)180cap L equals the fraction with numerator pi open paren 3 the square root of 3 end-root close paren open paren 120 close paren and denominator 180 end-fraction
𝐿=𝜋(33√)(120)180
.
 
Rút gọn: L=π(33)(2)3=2π3 cmcap L equals the fraction with numerator pi open paren 3 the square root of 3 end-root close paren open paren 2 close paren and denominator 3 end-fraction equals 2 pi the square root of 3 end-root cm
𝐿=𝜋(33√)(2)3=2𝜋3√ cm
.  
 
 
Kết quả cuối cùng  
Chu vi đường tròn là 6π3 cm6 pi the square root of 3 end-root cm
6𝜋3√ cm
.
Độ dài cung nhỏ ABcap A cap B
𝐴𝐵
là 2π3 cm2 pi the square root of 3 end-root cm
2𝜋3√ cm
.

### Lời giải

**Đề bài**: Cho đường tròn tâm \( O \), dây \( AB = 9 \, \text{cm} \), khoảng cách từ tâm \( O \) đến dây \( AB \) bằng một nửa bán kính của đường tròn. Yêu cầu:
- a) Tính chu vi đường tròn.
- b) Tính độ dài cung nhỏ \( AB \).
- Vẽ hình minh họa.

#### **Phân tích đề bài**
- Gọi bán kính đường tròn là \( R \).
- Dây \( AB = 9 \, \text{cm} \).
- Khoảng cách từ tâm \( O \) đến dây \( AB \) là \( \frac{1}{2}R \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của dây \( AB \), đường thẳng từ \( O \) đến \( M \) vuông góc với dây \( AB \) (theo tính chất đường tròn), nên \( OM = \frac{1}{2}R \).
- Ta cần tính:
- Chu vi đường tròn: \( C = 2\pi R \).
- Độ dài cung nhỏ \( AB \), phụ thuộc vào góc trung tâm \( \angle AOB \).

---

#### **Bước 1: Tìm bán kính \( R \)**

- Trong đường tròn tâm \( O \), dây \( AB = 9 \, \text{cm} \), \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên:
\[
AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{cm}.
\]
- Khoảng cách từ tâm \( O \) đến dây \( AB \) là \( OM = \frac{1}{2}R \).
- Xét tam giác vuông \( OMA \) (góc \( \angle OMA = 90^\circ \), vì \( OM \perp AB \)):
- \( OA = R \) (bán kính).
- \( OM = \frac{1}{2}R \).
- \( AM = 4.5 \, \text{cm} \).
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( OMA \):
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]
\[
R^2 = \left(\frac{1}{2}R\right)^2 + (4.5)^2
\]
\[
R^2 = \frac{1}{4}R^2 + 20.25
\]
\[
R^2 - \frac{1}{4}R^2 = 20.25
\]
\[
\frac{3}{4}R^2 = 20.25
\]
\[
R^2 = 20.25 \cdot \frac{4}{3} = 27
\]
\[
R = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]

Vậy bán kính đường tròn là:
\[
R = 3\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]

---

#### **Câu a: Tính chu vi đường tròn**

- Công thức chu vi đường tròn:
\[
C = 2\pi R
\]
- Thay \( R = 3\sqrt{3} \):
\[
C = 2\pi \cdot 3\sqrt{3} = 6\pi\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]

**Đáp án câu a**:
\[
C = 6\pi\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]

---

#### **Câu b: Tính độ dài cung nhỏ \( AB \)**

- Để tính độ dài cung nhỏ \( AB \), ta cần tìm góc trung tâm \( \angle AOB \).
- Trong tam giác \( OMA \):
- \( OM = \frac{1}{2}R = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{cm} \).
- \( AM = 4.5 \, \text{cm} \).
- \( OA = R = 3\sqrt{3} \, \text{cm} \).
- Tính cosin của góc \( \angle AOM \) trong tam giác vuông \( OMA \):
\[
\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{2}.
\]
\[
\angle AOM = 60^\circ.
\]
- Vì \( M \) là trung điểm của dây \( AB \), tam giác \( OAB \) là tam giác cân tại \( O \) (do \( OA = OB = R \)). Góc \( \angle AOM = \angle BOM = 60^\circ \), nên góc trung tâm:
\[
\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.
\]

- Độ dài cung nhỏ \( AB \) được tính theo công thức:
\[
L = \frac{\alpha \cdot \pi \cdot R}{180},
\]
trong đó \( \alpha \) là số đo góc trung tâm (tính bằng độ), \( R \) là bán kính.
- Thay \( \alpha = 120^\circ \), \( R = 3\sqrt{3} \):
\[
L = \frac{120 \cdot \pi \cdot 3\sqrt{3}}{180} = \frac{120 \cdot 3\pi\sqrt{3}}{180} = \frac{360\pi\sqrt{3}}{180} = 2\pi\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]

**Đáp án câu b**:
\[
L = 2\pi\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]

---

#### **Hình minh họa**

Dưới đây là mô tả hình vẽ (vì không thể vẽ trực tiếp, tôi sẽ mô tả chi tiết để bạn hình dung):

1. Vẽ một đường tròn tâm \( O \), bán kính \( R = 3\sqrt{3} \, \text{cm} \).
2. Vẽ dây cung \( AB \) với độ dài \( AB = 9 \, \text{cm} \).
3. Xác định trung điểm \( M \) của dây \( AB \) (khoảng cách từ \( A \) đến \( M \) và từ \( B \) đến \( M \) là \( 4.5 \, \text{cm} \)).
4. Vẽ đoạn thẳng \( OM \) vuông góc với \( AB \), với \( OM = \frac{1}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{cm} \).
5. Nối \( OA \) và \( OB \) (cả hai đều là bán kính, dài \( 3\sqrt{3} \, \text{cm} \)).
6. Góc \( \angle AOB = 120^\circ \), cung nhỏ \( AB \) là phần cung nối từ \( A \) đến \( B \) theo hướng ngắn hơn trên đường tròn.

Nếu bạn cần hình vẽ cụ thể, bạn có thể sử dụng phần mềm như GeoGebra hoặc vẽ tay theo mô tả trên.

---

### **Đáp án cuối cùng**
- **Câu a**: Chu vi đường tròn là:
\[
C = 6\pi\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]
- **Câu b**: Độ dài cung nhỏ \( AB \) là:
\[
L = 2\pi\sqrt{3} \, \text{cm}.
\]