1, Vì H nằm trên BC và AH ⊥ BC, ta có: BC = HB + HC = 3.6 + 6.4 = 10 cm

Dưới đây là lời giải chi tiết cho Bài 14:
---
### **1. Tính độ dài HA, AC và góc B, góc C**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
* $AH^2 = HB \cdot HC$
* $AB^2 = HB \cdot BC$
* $AC^2 = HC \cdot BC$

**a) Tính độ dài HA và AC:**

* **Tính AH:**
$AH^2 = HB \cdot HC = 3,6 \cdot 6,4 = 23,04$
$AH = \sqrt{23,04} = 4,8 \text{ (cm)}$
* **Tính BC:**
$BC = HB + HC = 3,6 + 6,4 = 10 \text{ (cm)}$
* **Tính AC:**
$AC^2 = HC \cdot BC = 6,4 \cdot 10 = 64$
$AC = \sqrt{64} = 8 \text{ (cm)}$

**b) Tính góc B và góc C:**

* **Tính góc C:**
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
$\sin C = \frac{AH}{AC} = \frac{4,8}{8} = 0,6$
$C \approx 36,87^\circ$
* **Tính góc B:**
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
$B + C = 90^\circ$
$B = 90^\circ - C = 90^\circ - 36,87^\circ = 53,13^\circ$

---
### **2. Chứng minh: AM - AB = AN - AC và HB.HC = AM.MB + AN.NC**

**a) Chứng minh AM - AB = AN - AC**

* Từ giả thiết, M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
* Tứ giác AMHN là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông tại A, M, N.
* Do đó, $AM = HN$ và $AN = HM$.
* Trong tam giác vuông BHA, M là hình chiếu của H trên AB. Áp dụng hệ thức lượng, ta có:
$HM^2 = AM \cdot MB$
* Trong tam giác vuông CHA, N là hình chiếu của H trên AC. Áp dụng hệ thức lượng, ta có:
$HN^2 = AN \cdot NC$
* $AM - AB = HN - AB$
* $AN - AC = HM - AC$
* Ta có: $AH^2 = AM \cdot AB = AN \cdot AC$.
* $AM \cdot AB = AN \cdot AC$
* $AM - AB$ và $AN - AC$.
* $AM \cdot AB = (AB - MB) \cdot AB = AB^2 - MB \cdot AB$.
* $AN \cdot AC = (AC - NC) \cdot AC = AC^2 - NC \cdot AC$.
* Để chứng minh $AM - AB = AN - AC$, ta cần chứng minh $AM = AN$.
* Mà $AM = HN$ và $AN = HM$. Lại có $AH^2 = AM \cdot AB = AN \cdot AC$.
* Vậy $AM \cdot AB = AN \cdot AC$
* Lại có $AB^2 = BH \cdot BC$ và $AC^2 = CH \cdot BC$.
* Vậy $AM = \frac{AH^2}{AB}$ và $AN = \frac{AH^2}{AC}$.
* $\frac{AM}{AN} = \frac{AC}{AB}$.
* Ta có $\triangle ABH \sim \triangle CAH$ nên $\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{AH} = \frac{AH}{CH}$.
* $\frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AC}$
* Do đó $AM \cdot AC = AN \cdot AB$
* Ta có $AM - AB = AN - AC$ khi và chỉ khi $AM - AN = AB - AC$.
* Điều này không đúng, ta cần xem lại đề bài.
* Có thể đề bài có chút sai sót, thường thì sẽ chứng minh $AM \cdot AB = AN \cdot AC$.

**b) Chứng minh HB.HC = AM.MB + AN.NC**

* Ta có: $HB \cdot HC = AH^2$
* $AM \cdot AB = AH^2$ và $AN \cdot AC = AH^2$.
* Do đó $AH^2 = AM \cdot MB + AN \cdot NC$.
* Ta có: $AM \cdot MB = HM^2$ và $AN \cdot NC = HN^2$.
* Do đó, ta cần chứng minh $HB \cdot HC = HM^2 + HN^2$.
* Ta có: $HM \perp AB$ và $HN \perp AC$.
* Trong tam giác vuông AHB, $HM$ là đường cao. $HB^2 = BH \cdot BC$
* Trong tam giác vuông AHC, $HN$ là đường cao. $HC^2 = CH \cdot BC$
* Xét tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
* Ta có $AH^2 = AM^2 + AN^2$
* $AH^2 = AM \cdot AB = (AB - MB) \cdot AB = AB^2 - AB \cdot MB = AB^2 - AB \cdot MB$.
* $HB \cdot HC = AM \cdot MB + AN \cdot NC$.
* Ta có $HB \cdot HC = AH^2$.
* $AM \cdot MB + AN \cdot NC = HM^2 + HN^2$.
* Xét tam giác vuông HNB, ta có $HB^2 = HN^2 + NB^2$.
* Xét tam giác vuông HMC, ta có $HC^2 = HM^2 + MC^2$.
* $BH \cdot CH = AH^2 = AM^2 + AN^2$.
* $HM^2 = AM \cdot MB$
* $HN^2 = AN \cdot NC$
* $BH \cdot CH = AM \cdot MB + AN \cdot NC$.
* Đây là một hệ thức đúng.
---
### **3. Chứng minh K là trung điểm BC**

**Chứng minh: MN $\perp$ AK**

* Tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên $\angle AMN = \angle ANM$.
* Xét $\triangle AMN$, ta có:
$\frac{AM}{AN} = \frac{AB \cdot \cos B}{AC \cdot \cos C} = \frac{AB \cdot \frac{HB}{AB}}{AC \cdot \frac{HC}{AC}} = \frac{HB}{HC}$.
* Trong tam giác vuông AHB, $AM = AH \cdot \cos(B_1)$ (với $B_1 = \angle BAH$).
* Trong tam giác vuông AHC, $AN = AH \cdot \cos(C_1)$ (với $C_1 = \angle CAH$).
* Ta có $AM = AH \sin(C)$ và $AN = AH \sin(B)$.
* Ta có $MN^2 = AM^2 + AN^2 = AH^2 \sin^2 C + AH^2 \sin^2 B = AH^2(\sin^2 C + \sin^2 B) = AH^2$.
* Do đó $MN = AH$.
* Vì AMHN là hình chữ nhật nên $MN = AH$.
* $MN \perp AH$ thì không đúng.
* $AK \perp MN$. Gọi I là giao điểm của AH và MN.
* Ta có $AH \perp BC$.
* Xét $\triangle AMN$ và $\triangle ABC$, ta có:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{AH^2/AB}{AC} = \frac{AH^2}{AB \cdot AC}$.
* $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ (c.g.c).
* Từ đó $\angle AMN = \angle ABC = B$.
* Gọi E là giao điểm của AK và MN.
* $AK \perp MN$ nên $\angle AEM = 90^\circ$.
* $\angle B = \angle ANM = \angle ABC$.
* Ta có $\angle BAH = C$ và $\angle CAH = B$.
* Xét $\triangle ABH$ vuông tại H. $AM = AH \cdot \sin B$.
* Xét $\triangle ACH$ vuông tại H. $AN = AH \cdot \sin C$.
* Ta có $\frac{AM}{AN} = \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{AC}{AB}$.
* $\triangle AMN$ đồng dạng với $\triangle ABC$ (c.g.c).
* Góc tạo bởi AK và AC là $\angle KAC = 90^\circ - \angle NAC = 90^\circ - B$.
* Góc tạo bởi AC và AB là $\angle BAC = 90^\circ$.
* Góc tạo bởi BC và AC là $\angle BCA = C$.
* Xét tam giác AKC, ta có: $\angle ACK = C$.
* $\angle AKC = 180^\circ - \angle KAC - \angle ACK = 180^\circ - (90^\circ - B) - C = 90^\circ + B - C$.
* Vì $AK \perp MN$ và $AH \perp BC$, ta có $\angle BAH = C$ và $\angle CAH = B$.
* $AK$ là đường thẳng qua $A$, vuông góc với $MN$.
* Ta có $\angle AMN = \angle ANM$.
* $AK$ là đường phân giác ngoài của $\triangle ABC$.
* Ta có $K$ nằm trên $BC$ sao cho $K$ là trung điểm.
* Để chứng minh $K$ là trung điểm của $BC$, ta chứng minh $KB = KC$.
* Theo tính chất đường phân giác ngoài, ta có $\frac{KB}{KC} = \frac{AB}{AC}$.
* Ta có $AB = \sqrt{HB \cdot BC}$ và $AC = \sqrt{HC \cdot BC}$.
* $\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{HB \cdot BC}}{\sqrt{HC \cdot BC}} = \sqrt{\frac{HB}{HC}}$.
* Vậy $\frac{KB}{KC} = \sqrt{\frac{HB}{HC}}$.
* Điều này chỉ đúng khi $\frac{KB}{KC} = 1 \iff \sqrt{\frac{HB}{HC}} = 1 \iff HB = HC$.
* Mà theo đề bài $HB = 3,6 \text{ cm}$ và $HC = 6,4 \text{ cm}$, nên $HB \ne HC$.
* Do đó $K$ không phải là trung điểm của $BC$.
* Có thể đề bài có sai sót. Tuy nhiên, nếu đề bài đúng, thì cách chứng minh sẽ phức tạp hơn và liên quan đến các tính chất của đường tròn.
* Bạn có thể tham khảo lại đề bài để đảm bảo tính chính xác.