a) ∣x+1∣>∣x−2∣

Cách 1: Bình phương hai vế Vì hai vế đều không âm, ta có thể bình phương hai vế mà không làm thay đổi chiều của bất phương trình. (x+1)2>(x−2)2 x2+2x+1>x2−4x+4 2x+1>−4x+4 2x+4x>4−1 6x>3 x>63​ x>21​

Tập nghiệm: x∈(21​;+∞)

Cách 2: Xét dấu Ta có hai mốc quan trọng là x=−1 và x=2.

Trường hợp 1: x<−1 ∣x+1∣=−(x+1) ∣x−2∣=−(x−2) Bất phương trình trở thành: −(x+1)>−(x−2)⇔−x−1>−x+2⇔−1>2 (Vô lý). Vậy trường hợp này không có nghiệm.
Trường hợp 2: −1≤x<2 ∣x+1∣=x+1 ∣x−2∣=−(x−2) Bất phương trình trở thành: x+1>−(x−2)⇔x+1>−x+2⇔2x>1⇔x>21​. Kết hợp với điều kiện −1≤x<2, ta có nghiệm là 21​<x<2.
Trường hợp 3: x≥2 ∣x+1∣=x+1 ∣x−2∣=x−2 Bất phương trình trở thành: x+1>x−2⇔1>−2 (Luôn đúng). Kết hợp với điều kiện x≥2, ta có nghiệm là x≥2.
Tổng hợp các trường hợp, ta có nghiệm là (21​;2)∪[2;+∞)⇔x>21​. Tập nghiệm: x∈(21​;+∞)

b) ∣x−1∣>∣x+2∣−3

Xét dấu Ta có hai mốc quan trọng là x=1 và x=−2.

Trường hợp 1: x<−2 ∣x−1∣=−(x−1)=−x+1 ∣x+2∣=−(x+2)=−x−2 Bất phương trình trở thành: −x+1>(−x−2)−3⇔−x+1>−x−5⇔1>−5 (Luôn đúng). Kết hợp với điều kiện x<−2, ta có nghiệm là x<−2.
Trường hợp 2: −2≤x<1 ∣x−1∣=−(x−1)=−x+1 ∣x+2∣=x+2 Bất phương trình trở thành: −x+1>(x+2)−3⇔−x+1>x−1⇔2>2x⇔x<1. Kết hợp với điều kiện −2≤x<1, ta có nghiệm là −2≤x<1.
Trường hợp 3: x≥1 ∣x−1∣=x−1 ∣x+2∣=x+2 Bất phương trình trở thành: x−1>(x+2)−3⇔x−1>x−1⇔0>0 (Vô lý). Vậy trường hợp này không có nghiệm.
Tổng hợp các trường hợp, ta có nghiệm là (−∞;−2)∪[−2;1)⇔x<1. Tập nghiệm: x∈(−∞;1)

c) ∣x−3∣+∣x−5∣>8

Xét dấu Ta có hai mốc quan trọng là x=3 và x=5.

Trường hợp 1: x<3 ∣x−3∣=−(x−3)=3−x ∣x−5∣=−(x−5)=5−x Bất phương trình trở thành: (3−x)+(5−x)>8⇔8−2x>8⇔−2x>0⇔x<0. Kết hợp với điều kiện x<3, ta có nghiệm là x<0.
Trường hợp 2: 3≤x<5 ∣x−3∣=x−3 ∣x−5∣=−(x−5)=5−x Bất phương trình trở thành: (x−3)+(5−x)>8⇔2>8 (Vô lý). Vậy trường hợp này không có nghiệm.
Trường hợp 3: x≥5 ∣x−3∣=x−3 ∣x−5∣=x−5 Bất phương trình trở thành: (x−3)+(x−5)>8⇔2x−8>8⇔2x>16⇔x>8. Kết hợp với điều kiện x≥5, ta có nghiệm là x>8.
Tổng hợp các trường hợp, ta có nghiệm là (−∞;0)∪(8;+∞). Tập nghiệm: x∈(−∞;0)∪(8;+∞)

d) ∣x−3∣+∣x+1∣<8

Xét dấu Ta có hai mốc quan trọng là x=3 và x=−1.

Trường hợp 1: x<−1 ∣x−3∣=−(x−3)=3−x ∣x+1∣=−(x+1)=−x−1 Bất phương trình trở thành: (3−x)+(−x−1)<8⇔2−2x<8⇔−2x<6⇔x>−3. Kết hợp với điều kiện x<−1, ta có nghiệm là −3<x<−1.
Trường hợp 2: −1≤x<3 ∣x−3∣=−(x−3)=3−x ∣x+1∣=x+1 Bất phương trình trở thành: (3−x)+(x+1)<8⇔4<8 (Luôn đúng). Kết hợp với điều kiện −1≤x<3, ta có nghiệm là −1≤x<3.
Trường hợp 3: x≥3 ∣x−3∣=x−3 ∣x+1∣=x+1 Bất phương trình trở thành: (x−3)+(x+1)<8⇔2x−2<8⇔2x<10⇔x<5. Kết hợp với điều kiện x≥3, ta có nghiệm là 3≤x<5.
Tổng hợp các trường hợp, ta có nghiệm là (−3;−1)∪[−1;3)∪[3;5)⇔−3<x<5. Tập nghiệm: x∈(−3;5)

e) ∣x3+1∣≥x+1

Ta có thể phân tích x3+1=(x+1)(x2−x+1). Vì x2−x+1=(x−21​)2+43​>0 với mọi x, nên dấu của ∣x3+1∣ phụ thuộc vào dấu của x+1.

Trường hợp 1: x+1≥0⇔x≥−1 ∣x3+1∣=x3+1 Bất phương trình trở thành: x3+1≥x+1⇔x3≥x⇔x3−x≥0⇔x(x2−1)≥0⇔x(x−1)(x+1)≥0. Ta xét dấu của f(x)=x(x−1)(x+1):

x∈[−1;0]⇒f(x)≥0
x∈[1;+∞)⇒f(x)≥0 Kết hợp với điều kiện x≥−1, ta có nghiệm là x∈[−1;0]∪[1;+∞).
Trường hợp 2: x+1<0⇔x<−1 ∣x3+1∣=−(x3+1) Bất phương trình trở thành: −(x3+1)≥x+1⇔−x3−1≥x+1⇔−x3−x−2≥0⇔x3+x+2≤0. Xét hàm số g(x)=x3+x+2. Ta có g′(x)=3x2+1>0 với mọi x, suy ra g(x) là hàm đồng biến. g(−1)=(−1)3+(−1)+2=−1−1+2=0. Vì g(x) đồng biến và g(−1)=0, nên với x<−1, ta có g(x)<g(−1)=0. Do đó, bất phương trình x3+x+2≤0 có nghiệm là x≤−1. Kết hợp với điều kiện x<−1, ta có nghiệm là x<−1.
Tổng hợp các trường hợp: (−∞;−1)∪[−1;0]∪[1;+∞) Kết quả là (−∞;0]∪[1;+∞).

Tập nghiệm: x∈(−∞;0]∪[1;+∞)