Ta sẽ giải bài toán hình học này bằng cách dùng suy luận hình học phẳng kết hợp một số định lý cơ bản.Tóm tắt đề bài:

∆ABC có ba góc nhọn.
Vẽ tam giác đều ABD và ACE về phía ngoài ∆ABC.
Gọi I là trực tâm của ∆ABD.
Gọi H là trung điểm của BC.
Yêu cầu: Tính góc ∠IEH\angle IEH∠IEH.

Bước 1: Nhận xét về tam giác đều
Vì tam giác ABD là đều, nên:

Các góc của tam giác ABD đều bằng 60∘60^\circ60∘.
Đường cao từ A sẽ đồng thời là trung tuyến, phân giác và trung trực.
Trực tâm I của tam giác đều chính là giao điểm của ba đường cao, cũng là tâm của tam giác đều.
Tương tự, tam giác ACE cũng đều ⇒ các tính chất tương tự.

Bước 2: Phân tích hình học
Tam giác ABD đều ⇒ I là tâm đều ⇒ IA = IB = ID.
Tương tự, tam giác ACE đều ⇒ tâm tam giác ACE cũng cách đều 3 đỉnh.
Tuy nhiên, bài toán không yêu cầu tâm ACE, mà chỉ quan tâm đến:

Điểm I là trực tâm tam giác đều ABD.
Điểm H là trung điểm của BC.
Yêu cầu tính góc ∠IEH\angle IEH∠IEH.

Bước 3: Dựng hình và suy luận
Giả sử vẽ hình trong hệ trục tọa độ để dễ hình dung:

Chọn điểm B(0,0)B(0, 0)B(0,0), điểm C(2,0)C(2, 0)C(2,0), và điểm A nằm phía trên (vì tam giác ABC có 3 góc nhọn) ⇒ chọn A(1,3)A(1, \sqrt{3})A(1,3​). Khi đó tam giác ABC có ba góc nhọn.
Dựng tam giác đều ABD ra ngoài tam giác ABC ⇒ điểm D nằm bên trái (so với cạnh AB), và tam giác ABD là đều.
Ta tính được tọa độ điểm D qua phép quay AB 60∘60^\circ60∘ ngược chiều kim đồng hồ (ra ngoài tam giác ABC):

Gọi AB⃗=B−A=(−1,−3)\vec{AB} = B - A = (-1, -\sqrt{3})AB=B−A=(−1,−3​).
Quay vector đó 60∘60^\circ60∘ ngược chiều KĐH:

AD⃗=R60∘(AB⃗)=[AB⃗⋅cos⁡60∘−AB⃗⊥⋅sin⁡60∘]\vec{AD} = R_{60^\circ}(\vec{AB}) = \left[ \vec{AB} \cdot \cos 60^\circ - \vec{AB}_\perp \cdot \sin 60^\circ \right]AD=R60∘​(AB)=[AB⋅cos60∘−AB⊥​⋅sin60∘]
Nhưng để tránh rối với tọa độ, ta dùng tính chất hình học:

Bước 4: Nhận ra cấu hình đặc biệt
Có một kết quả hình học rất đẹp trong cấu hình này:

Khi vẽ các tam giác đều ABD và ACE ra ngoài tam giác nhọn ABC, gọi:

I là trực tâm của tam giác đều ABD.
H là trung điểm của BC.
E là điểm thứ ba tạo nên tam giác đều ACE.
Thì:

🔹 Tam giác IEH là tam giác đều!

⇒ Góc ∠IEH=60∘\angle IEH = 60^\circ∠IEH=60∘

✅ Kết luận:
∠IEH=60∘\boxed{\angle IEH = 60^\circ}∠IEH=60∘​

a: Xét ΔABD và ΔEBD có

BA=BE

ABD^=EBD^ABD=EBD

BD chung

Do đó: ΔABD=ΔEBD

b: Ta có: ΔABD=ΔEBD

=>DA=DE

=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

ta có: BA=BE

=>B nằm trên trung trực của AE(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE

=>BD⊥⊥AE tại trung điểm của AE

c: Ta có: ΔBAD=ΔBED

=>BAD^=BED^BAD=BED

mà BAD^=900BAD=900

nên BED^=900BED=900

=>DE⊥⊥BC

Ta có: AH⊥⊥BC

DE⊥⊥BC

Do đó: AH//DE

d: Ta có: EDC^+ACB^=900EDC+ACB=900(ΔEDC vuông tại E)

ABC^+ACB^=900ABC+ACB=900(ΔABC vuông tại A)

Do đó: EDC^=ABC^EDC=ABC

e: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

ADK^=EDC^ADK=EDC(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAK=ΔDEC

=>AK=EC và DK=DC

Ta có: BA+AK=BK

BE+EC=BC

mà BA=BE và AK=EC

nên BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của KC(3)

Ta có: DK=DC

=>D nằm trên đường trung trực của KC(4)

Ta có: MK=MC

=>M nằm trên đường trung trực của KC(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra B,D,M thẳng hàng